Elipse

Introdução

A elipse, a parábola e a hipérbole são curvas que possuem propriedades que as tornam importantes em várias aplicações. Aqui vamos ocupar-nos apenas das chamadas propriedades de reflexão dessas curvas, relacionadas com pontos especiais chamados focos.

Hipérbole

O que é uma hipérbole?
Definição: Sejam F1 e F2 dois pontos do plano e seja 2c a distância entre eles, hipérbole é o conjunto dos pontos do plano cuja diferença (em módulo) das distâncias à F1 e F2 é a constante 2a (0 < 2a < 2c).
Elementos de uma Hipérbole:

F1 e F2 → são os focos da hipérbole
O → é o centro da hipérbole
2c → distância focal
2a → medida do eixo real ou transverso
2b → medida do eixo imaginário c/a → excentricidade

Existe uma relação entre a, b e c → c2 = a2 + b2
Equação reduzida da hipérbole
1º caso: Hipérbole com focos sobre o eixo x.

Fica claro que nesse caso os focos terão coordenadas F1 (-c , 0) e F2( c , 0).
Assim, a equação reduzida da elipse com centro na origem do plano cartesiano e focos sobre o eixo x será:

2º caso: Hipérbole com focos sobre o eixo y.

Neste caso, os focos terão coordenadas F1 (0 , -c) e F2(0 , c).
Assim, a equação reduzida da elipse com centro na origem do plano cartesiano e focos sobre o eixo y será:

Exemplo 1. Determine a equação reduzida da hipérbole com eixo real 6, focos F1(-5 , 0) e F2(5, 0).

Solução: Temos que
2a = 6 → a = 3
F1(-5, 0) e F2(5, 0) → c = 5

Da relação notável, obtemos: c2 = a2 + b2 → 52 = 32 + b2 → b2 =25 – 9 → b2 = 16 → b = 4

Assim, a equação reduzida será dada por:

Exemplo 2. Encontre a equação reduzida da hipérbole que possui dois focos com coordenadas F2 (0, 10) e eixo imaginário medindo 12.

Solução: Temos que
F2(0, 10) → c = 10
2b = 12 → b = 6

Utilizando a relação notável, obtemos:
102 = a2 + 62 → 100 = a2 + 36 → a2 = 100 – 36 → a2 = 64 → a = 8.

Assim, a equação reduzida da hipérbole