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44984-06 – Circuitos Elétricos B

V – Análise de circuitos pela transformada de Laplace
V.1 – Introdução
De forma análoga à transformada fasorial, aplicada para determinação do regime permanente senoidal de circuitos elétricos lineares e invariantes no tempo, a transformada de Laplace pode ser empregada para determinar a resposta completa desta mesma classe de circuitos para uma gama bastante variada de funções de excitação. De uma maneira geral, as equações diferenciais lineares invariantes no tempo que descrevem as correntes e tensões destes circuitos podem ser resolvidas seguindo os passos esquematizados no diagrama da
Figura V.1.

Equações diferenciais lineares e invariantes no tempo

Transformada de Laplace

Equações algébricas no domínio da freqüência Condições iniciais

Transformada inversa de
Laplace

Solução temporal Figura V.1 – Esquema de solução de equações diferenciais empregando Transformada de Laplace.

V.2 – Definição
A transformada de Laplace de uma função f (t ) é definida pela equação:

L[ f (t )] = F (s ) =

+∞

∫ f (t )e

− st

dt

(1)

0

onde s é a freqüência complexa s = σ + jω

(2)

e assume-se que a função f (t ) possui a seguinte propriedade f (t ) = 0 para t < 0

Observar que ignora-se o comportamento de f (t ) pata valores negativos de t, sendo esta denominada transformada de Laplace unilateral. O funcionamento do circuito para instantes anteriores a t = 0 é incorporado por intermédio da consideração das suas condições iniciais.

Análise de Circuitos pela Transformada de Laplace – Sérgio Haffner – Versão 4/7/2005

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Exemplo V.1: Determinar a transformada de Laplace da seguinte função: f (t )

A t 0 , e − (s + a )∞ → 0

ou

∞

 e −( s +a )t 
 e −( s +a )∞ e −(s + a )0  dt = A
A
=
+

−

 − (s + a )  0
 (s + a ) (s + a ) 


0
1 
A
L[ f (t )] = A−
+
=

 (s + a ) (s + a )  s +