Electro

Electromagnestimo e Óptica

Algebra vectorial
Alfabeto grego α β γ δ ε ζ ι η

Α
Β
Γ
∆
Ε
Ζ
Ι
Η

Alfa
Beta
Gama
Delta
Épsilon
Zeta
Iota
Eta

θ κ λ µ ν ξ ο π Θ
Κ
Λ
Μ
Ν
Ξ
Ο
Π

Teta
Capa
Lambda
Mi ou Mu
Ni ou Nu
Csi
Ómicron
Pi

ρ σ τ τυ φ χ ψ ω Ρ
Σ
Τ
Υ
Φ
Χ
Ψ
Ω

Ró
Sigma
Tau
Upsilon
Fi
Qui
Psi
Ómega

Vectores
1.

Estabeleça o angulo entre os vectores OA e OB , sendo O a origem do sistema de referência e os pontos A e B, respectivamente (3,4) e (6,0).

Solução:
OA = (3, 4) − (0, 0) = (3, 4)
OB = (6, 0) − (0, 0) = (6, 0)

Da Matemática, o produto interno entre quaisquer dois vectores OA e OB é dado por:
OA ⋅ OB = OA OB cos ∀(OA, OB) .

Por outro lado, se as coordenadas cartesianas dos dois vectores forem conhecidas, também podemos obter o produto interno dos dois vectores multiplicando as respectivas componentes x , e as respectivas componentes y, e somando:
OA ⋅ OB = 3 × 6 + 4 × 0 = 18 .

Uma vez que a grandeza de qualquer vector é a raiz quadrada do seu próprio produto interno:
OA = OA ⋅ OA = 32 + 42 = 5

OB = OB ⋅ OB = 62 + 02 = 6 cos ∀(OA, OB) =

18
= 0, 6
5× 6

∀(OA, OB) = cos −1 0, 6 = 53º.
2

Electromagnestimo e Óptica

2.

Determine o vector M , cuja origem é o ponto P(x1,y1,z1)
Q(x2,y2,z2). Determine ainda a norma do vector M .

3.

Dados os vectores r 1 = 3 i -2 j +3 k , r 2 = 2 i –4 j -3 k , r 3 = - i +2 j +2 k detemine o módulo e a direcção do vector r = 2 r 1-3 r 2-5 r 3.

4.

Dados os vectores r 1 = 2 i - j + k , r 2 = i +3 j -2 k , r 3 = -2 i + j -3 k

e a extremidade oponto

e

r 4 = 3 i +2 j +5 k determine os escalares a, b e c de modo a que r 4 = a r 1+b r 2+c r 3.

5.

Os pontos P e Q têm coordenadas cartesianas (2,0,3) e (1,4,-1), respectivamente:
a) Quais são os vectores posição de P e Q relativamente à origem?
b) Qual o vector posição de Q relativamente a P?
c) Determine a intensidade e os cossenos