EL66J NA Boole

Notas de aula #5: Álgebra Booleana e simplificação algébrica

Notas de aula #5

UTFPR
Disciplina: EL66J
Prof. Gustavo B. Borba

ÁLGEBRA BOOLEANA e
SIMPLIFICAÇÃO ALGÉBRICA

Em uma publicação científica de 1854, denominada An investigation of the laws of thought, on which are founded the mathematical theories of logic and probability, o matemático inglês
George Boole (por isso o nome álgebra Booleana, com maiúscula) estabeleceu os princípios de um sistema algébrico para variáveis binárias (variáveis que assumem apenas dois valores). Em 1938, o matemático e engenheiro eletricista norte americano Claude E. Shannon utilizou a álgebra Booleana para analisar e descrever circuitos elétricos baseados em relés. Faz todo sentido, já que os contatos dos relés são variáveis binárias: só interessam as situações nas quais está aberto ou fechado. O título do artigo científico publicado por ele é Symbolic analysis of relay and switching circuits.
Nos tópicos a seguir, observe que os axiomas (afirmações que não exigem provas para serem consideradas verdadeiras [1]) da álgebra Booleana estabelecem aquilo que utilizamos como ponto de partida: as operações não, e, ou e que os estados das variáveis são mutuamente exclusivos. Os teoremas podem ser considerados como o conjunto de regras para a manipulação das variáveis.
Em eletrônica digital, os teoremas podem ser utilizados em uma técnica de simplificação de equações lógicas (que agora podemos chamar também de equações Booleanas) denominada simplificação algébrica. O objetivo de um processo de simplificação de uma equação lógica é obter uma equação equivalente à original, porém mais simples [claro!].
Duas equações lógicas são equivalentes quando apresentam a mesma tabela verdade. Mais simples pode ser entendido como menor. Por isso, este processo também é chamado de minimização de uma equação lógica. A simplificação é importante porque pode permitir (não necessariamente) a implementação de um circuito digital mais compacto, portanto mais