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Introdução
Se você consultar o Novo Dicionário Brasileiro Melhoramentos - 7ª edição obterá a seguinte definição para a parábola:
“Curva plana, cujos pontos são equidistantes de um ponto fixo (foco) e de uma reta fixa (diretriz) ou curva resultante de uma secção feita num cone por um plano paralelo à geratriz curva que um projétil descreve.”
Esta definição não está distante da realidade do rigor matemático. (Os dicionários, são, via de regra, uma boa fonte de consulta também para).
Conceitos matemáticos, embora não se consiga neles - é claro - a perfeição absoluta, o que, de certa forma, é bastante compreensível, uma vez que a eles, não cabe à responsabilidade pela precisão dos conceitos e definições (Matemáticas).

Definição

A parábola é uma seção cônica gerada pela interseção de uma superfície cônica de segundo grau e um plano paralelo a uma linha geradora do cone (chamada de geratriz). Uma parábola também pode ser definida como o conjunto dos pontos que são equidistantes de um ponto dado (chamado de foco) e de uma reta dada (chamada de diretriz). É uma curva plana

Elementos

Observe a parábola representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos: ANEXO 1
O ponto F = Foco
A reta d = Diretriz
O ponto V = Vértice
P = Parâmetro
Então, temos que:
O vértice V e o foco F ficam em uma mesma reta, o eixo de simetria e.
DF =p

V é o ponto médio de

Equações

Vamos considerar os seguintes casos:

a) parábola com vértice na origem, concavidade para a direita e eixo de simetria horizontal.

Anexo 2 Como a reta d tem equação e na parábola temos:

P(x, y);

dPF = dPd ( definição);

Obtemos, então, a equação da parábola: y²=2px

b) parábola com vértice na origem, concavidade para a esquerda e eixo de simetria horizontal.

Nessas condições, a equação da parábola é: y²=-2px

Anexo 3

c) parábola com vértice na origem, concavidade para cima e eixo