Distribuição uniforme

Exerc´cios de Inferˆncia ı e
Tiago Maia Magalh˜es a 1o Semestre 2009

1. Sejam X1 , . . . , Xn ∼ U (−θ, θ)

L (θ, x) =
=

nn

1
2θ

I(−θ,θ) (xi ) i=1 nn

1
2θ

I(0,θ) (|xi |) i=1 n

I(0,θ) (|xi |) = 1 ⇒ 0 < |x1 | < θ, . . . , 0 < |xn | < θ i=1 n

I(0,θ) (|xi |) = 1 ⇒ 0 < max {|x1 | , . . . , |xn |} < θ i=1 L (θ, x) =
=

n

1
2θ
1
2θ

I(0,θ) (max {|x1 | , . . . , |xn |}) n I(max{|x1 |,...,|xn |},+∞) (θ)

ˆ
⇒ θ = max {|x1 | , . . . , |xn |} .

2. Sejam X1 , . . . , Xn ∼ U (a − θ, a + θ), uniforme centrado em a, conhecido.

ˆ
Xi − a ∼ U (−θ, θ) , logo θ = max {|x1 − a| , . . . , |xn − a|} .

3. Sejam X1 , . . . , Xn ∼ U (θ − d, θ + d), d conhecido.
1

Magalh˜es, T. M. a Exerc´ ıcios de Inferˆncia e 1
2d

L (θ, x) =

2

nn

I(θ−d,θ+d) (xi ) i=1 n

I(θ−d,θ+d) (xi ) = 1 ⇒ θ − d < x1 < θ + d, . . . , θ − d < xn < θ + d i=1 ⇒ θ − d < x(1) < x(n) < θ + d
⇒ θ < x(1) + d < x(n) − d < θ n 1
L (θ, x) =
I(θ−d,x(n) ) x(1) I(θ−d,θ+d) x(n)
2d
n
1
I(x(1) ,θ+d) x(n) I(θ−d,θ+d) x(1)
=
2d
1
2d

=

n

I(x(n) −d,x(1) +d) (θ)

ˆ θ ∈ x(n) − d, x(1) + d .
4. Sejam X1 , . . . , Xn ∼ U (c − d, c + d), c e d desconhecidos.
L (c, d, x) =

1
2d

nn

I(c−d,c+d) (xi ) i=1 ∀c fixado, L (c, d, x) ´ maximizada pelo menor d, tal que L > 0. e ⇒
⇒
⇒
⇒

d=

c − d < xi < c + d ∀i = 1, . . . , n c − d < x(1) < x(n) < c + d x(n) − d < c < x(1) + d d > x(n) − c e d > c − x(1) d > max c − x(1) , x(n) − c


 x(n) − c; x(n) − c > c − x(1) ⇒ c ≤


c − x(1) ; c − x(1) > x(n) − c ⇒ c ≥ c= ˆ

x(1) +x(n)
2
x(1) +x(n)
2

x(1) + x(n)
.
2

d > max c − x(1) , x(n) − c x(1) + x(n) x(1) + x(n)
− x(1) , x(n) −
= max
2
2 x(n) − x(1) x(n) − x(1)
= max
,
2
2
ˆ x(n) − x(1) . d= 2
Profa. Mˆnica Sandoval o Probabilidade e Inferˆncia I e IME-USP