Dimensionamento de engrenagens

SOLUÇÃO

DE

EQUAÇÕES

DIFERENCIAIS

POR

DIFERENÇAS FINITAS-JM Balthazar- Maio 2003

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Resolvendo um Problema de Condução de Calor

Para introduzir o método das diferenças finitas de uma forma prática, vamos considerar um problema de condução estacionária de calor em uma barra delgada – Figura 1.

Suas

extremidades

são

mantidas

a

temperaturas

constantes e seu corpo troca calor convectivamente com o meio. Neste caso o conjunto de equações que descrevem o problema é o seguinte:

d 2 T( x ) AK ⋅ − Ph ⋅ (T( x ) − T∞ ) = 0 2 dx p/ 0≤x≤1 T(0) = TA T(l) = TB p/ x = 0 p/ x = l

Os parâmetros são a área da seção transversal A, a condutividade do material K, o perímetro P, o coeficiente da transferência convectiva h e a temperatura ambiente T∞.

Figura 1

Neste ponto temos a opção de escolher entre dois caminhos para encontrar a solução.

O primeiro deles consiste em utilizar métodos analíticos de solução. Este procedimento produz resultados de excelente precisão, porém é limitado ao pequeno número de casos em que pode ser aplicado.

A Segunda opção refere-se ao emprego de métodos numéricos que são de aplicação bastante ampla e produzem resultados satisfatórios. Dentre estes podem ser citados o método das diferenças finitas, elementos finitos, elementos de contorno e muitos outros. Os resultados precisam ser visualizados gráficamente.

Para obtermos a solução por diferenças finitas vamos inicialmente realizar uma partição regular na região em que estamos estudando a condução de calor – Figura 2. Desta forma trabalharemos com um intervalo

Figura 2 formado por um conjunto discreto de pontos ou nós xi e não com um intervalo contínuo. A cada nó xi podemos associar os valores Ti = T(xi) da função T(x), que representa a distribuição da temperatura ao longo da barra. Se os parâmetros do problema variarem ao longo da barra, da mesma forma apoderemos associar os valores nodais Ai = A(xi), Ki = K(xi), Pi = P(xi) e hi = h(xi). O