Derivadas

Cód. 1089
Integral Definida
O matemático grego Arquimedes (287 – 212 A.C.) utilizou o denominado método de exaustão para determinar a quadratura da parábola. O método, cujo desenvolvimento foi creditado a Eudoxo (cerca de 370 A.C.), consiste em exaurir ou esgotar a região, cuja área se quer determinar, por meio de outras áreas já conhecidas. Vejamos agora como definir e calcular a área de uma região limitada por uma função f, contínua em um intervalo [a,b].

A B A B
Se dividirmos o intervlo [a,b] em n partes e construirmos retângulos. Quanto maior for o número n, mais próxima da área da figura será a soma das áreas dos retângulos.
O limite da soma das áreas desses retângulos, quando n tende a infinito, é, por definição, a área da figura dada.
Na figura abaixo, dividimos o intervalo [a, b] em n partes iguais a x e construímos os retângulos com base igual a x e altura igual a f (x):

A área da figura é definida como limite da soma das áreas desses retângulos, quando n tende a infinito, isto é:

A figura acima dá o significado geométrico desta soma se f(x)  0 e também mostra que esta soma é uma boa aproximação da área determinada pelo gráfico de f, pelo eixo x e pelas ordenadas x = a e x = b. Sendo f (xn)x a área do retângulo de base x (ou dx) e altura f (xn), cabe destacar que quanto mais retângulos tivermos menor será x e quanto melhor for a posição de xn, melhor será a aproximação entre a área sob a curva e suas outras delimitações.

Exemplo:

n = 2 n = 4

n = 8 n = 40

Definição: A integral definida de f, desde a até b é o , Símbolo : Temos então:

Onde: b: limite superior de integração; a: limite inferior de integração;
f(x):