Derivadas

19/3/2010

DERIVADAS E SUAS APLICAÇÕES

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Matemática I

DERIVADAS
A diferenciação é uma técnica matemática conhecida como
Cálculo com aplicação em traçados de curvas, otimização de funções e análise de taxas de variações.

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Introdução ao conceito de derivada
• Os principais conceitos sobre derivadas foram introduzidas por Newton e Leibniz, no século XVIII.
Tais idéias, já estudadas antes por Fermat, estão fortemente relacionadas com a noção de reta tangente a uma curva no plano. Uma idéia simples do que significa a reta tangente em um ponto P de uma circunferência, é uma reta que toca a circunferência em exatamente em um ponto P e é perpendicular ao segmento OP, como vemos na figura ao lado.
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O segmento OP é o raio da circunferência

Ao tentar estender esta idéia acerca da reta tangente a uma curva qualquer e tomarmos um ponto P sobre a curva, esta definição perde o sentido, como mostram as figuras abaixo.

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Nessas figuras, consideramos a reta tangente à curva no ponto
P. Na primeira figura, a reta corta a curva em outro ponto Q.
Na segunda figura, a curva está muito "achatada" perto do ponto P e a suposta reta tangente toca a curva em mais de um ponto. Na terceira figura, a reta também é tangente à curva no

ponto Q.

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A derivada do ponto de vista geométrico
Para chegar a uma boa definição de reta tangente ao gráfico de uma função em um ponto do mesmo, vamos pensar que essa reta tangente é a reta que contém o ponto e que "melhor

aproxima" o gráfico de f nas vizinhanças deste ponto. Assim, a reta tangente pode ser determinada por seu