Derivadas

Cálculo I

Capítulo 3 : Derivadas
O cálculo é a matemática das variações e o instrumento principal para estudar as taxas de variação é um método conhecido como derivação. Neste capítulo, vamos descrever esse método e mostrar como pode ser usado para determinar a taxa de variação de uma função e também a inclinação da reta tangente a uma curva. 3.1 EXEMPLO
1. Uma partícula caminha sobre uma trajetória qualquer obedecendo à função horária s(t) = 3t 2 – 5t + 2 (s em metros , t em segundos)
a) Qual a velocidade média da partícula no intervalo de tempo [ 2 , 4 ]?
b) Qual a velocidade média da partícula no intervalo de tempo [ 2 , 3 ] ?
c) Qual a velocidade média da partícula no intervalo de tempo [ 2 ; 2,1 ]?
d) Qual a velocidade média da partícula no intervalo de tempo [ 2 , (2 + ∆t) ], com ∆t ≠ 0?
e) Como você interpretaria fisicamente a velocidade média da partícula no item anterior, quando ∆t tende a zero?
f) Qual a velocidade da partícula no instante t = 2 s?
Resolução:
a)Velocidade média de uma partícula num certo intervalo de tempo é definida pelo quociente entre o espaço percorrido (∆s = s final – sinicial ) e o intervalo de tempo gasto em percorrê- lo (∆t = t final – t inicial ): vm =

∆s
∆t

∆s = s (4) − s ( 2) = (3.4 2 − 5.4 + 2) − (3.2 2 − 5.2 + 2)
∆s = 30 − 4 = 26 m
∆t = 4 − 2 = 2 s
Logo : v m =

26
= 13 m / s
2

b)Neste item, temos: vm =

∆s
∆t

∆s = s (3) − s (2) = (3.3 2 − 5.3 + 2) − (3.2 2 − 5.2 + 2)
∆s = 14 − 4 = 10 m
∆t = 3 − 2 = 1 s
Logo : v m =

10
= 10 m / s
1

c)Neste item, temos:
∆s
∆t
∆s = s (2,1) − s ( 2)

vm =

∆s = (3.2,12 − 5.2,1 + 2) − (3.2 2 − 5.2 + 2)
∆s = 4,73 − 4
∆s = 0,73 m
∆t = 2,1 − 2 = 0,1 s
0,73
Logo : v m =
= 7,3 m / s
0,1

1

Cálculo I

d)Neste item, temos:
∆s = s (2 + ∆t ) − s (2)
∆s = [3.(2 + ∆t ) 2 − 5.(2 + ∆t ) + 2] − (3.2 2 − 5.2 + 2)
∆s = [4 + 7 ∆t + 3∆t 2 ] − 4
∆s = 7 ∆t + 3∆t 2

Logo : v m =

7 ∆t + 3∆t 2 ou seja, v m = 7 + 3∆t
∆t

Observe