Derivadas

TERCEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS
(Conceitos iniciais e Regras de Derivação)
1. Determine as abscissas dos pontos do gráfico de f(x) = x3 + 2x2 ¡ 4x nos quais a reta tangente é:
a) horizontal.
b) paralela à reta 2y + 8x ¡ 5 = 0.
2. Ache uma equação da reta tangente à curva y = 2 ¡ x2 3 que é perpendicular à reta x ¡ y = 0.
3. Prove que não há reta que passe pelo ponto (1; 2) e seja tangente à curva y = 4 ¡ x2.
4. Ache a equação da reta tangente à curva y =
1
x no ponto (
1
2; 2).
5. Ache os valores de a e b tais que f seja derivável em 2 se f(x) =
(
ax + b; se x < 2
2x2 ¡ 1; se 2 · x:
6. Determine se f é derivável em x1 = 1, x1 = ¡2 e x1 = 0, respectivamente:
a) f(x) =
( p
1 ¡ x; se x < 1
(1 ¡ x)2; se 1 · x:
b) f(x) = 1+ j x + 2 j c) f(x) =
(
¡x2=3; se x · 0 x2=3; se x > 0:
7. Determine a derivada de cada uma das funções a seguir:
a) y = x52¡3 ln x
b) y = ln jx4 + x3j
c) y = (sin(x))tan(x), sin(x) > 0
d) y = sec(3t2 )
e) y = log5[(4x2 + 3)(2x ¡ 1)]
f) y = arc tan(cos µ)
g) y = tan3(x) + tan(x3)
h) f(t) = sin(
2t
t4 ¡ 4t
)
i) f(x) =
(x2 + 4)5=3
(x3 + 1)3=5
j) f(x) = cos2(1 ¡ x2)
k) y = cot4 x ¡ csc4 x
l) f(x) =
(x + sin x)20 cos10 x
8. a) Encontre dy dx se xy = yx.
b) Ache uma equação da reta tangente à curva 3 p xy = 14x + y no ponto (2;¡32).
9. Em quais números a função g(x) =
8>><
>>:
¡1 ¡ 2x se x · ¡1 x2 se ¡1 · x · 1: x se x > 1 é diferenciável?
10. Determine as seguintes derivadas de ordem superior.
a) D74 x sin(x)
b) D4 x( 2 x ¡ 1
)
c) D3 x (2 tan(3x))
d) D3 v(v p v ¡ 2)
e) D4 x (3 sin2(2x))
f) D5 x(cos(2x) ¡ sin(2x))
11. Dada x4 + y4 = a4, onde a é uma constante, ache d2y dx2 na forma mais simples.
12. A função f(x) = x3 ¡ 9x é crescente para x > p 3 . Se g é a função inversa de f neste intervalo, encontre g0(0)