derivadas

UNIPÊ - CENTRO UNIVERSITÁRIO DE JOÃO PESSOA - PB
BACHARELADO EM ENGENHARIA CIVIL
CÁLCULO DIFERENCIAL
PROF. MILARÉ

RESUMO SOBRE DERIVADAS
Inclinação da reta tangente a uma curva.
A inclinação da reta secante à curva y = fx, que passa pelos pontos P = x 0 , fx 0  e fx 0 + h − fx 0  fx − fx 0 
Q = x 0 + h, fx 0 + h é dada por: s =
, h ≠ 0, ou de forma equivalente s = x − x0 , h onde x = x 0 + h e x ≠ x 0 . Quando o ponto Q se aproxima do ponto P, a inclinação da secante se aproxima da inclinação da tangente à curva y = fx no ponto x 0 , y 0 .
Exemplo.
A inclinação da reta secante à curva y = x 2 + 1 no ponto 2, 5, será:
2
fx 0 + h − fx 0 
2 + h 2 + 1 − 5 hh + 2 s= =
= 4 + 2h + h + 1 − 5 =
= h + 2, se h ≠ 2. Agora h h h h para h suficientemente pequeno, (assim o ponto Q estará bastante perto de P, a inclinação s, da secante, se aproxima de 2, que é a inclinação da tangente.
Assim:
fx 0 + h − fx 0  s= é a inclinação da secante, e h fx 0 + h − fx 0  será a inclinação da tangente, desde que este limite exista.Observe que m = lim h0 h fx − fx 0  também podemos expressar m como m = xx lim x − x0 .
0
Vamos aplicar esta última expressão de m à função fx = x 2 + 1, no ponto 2, 5
2
x 2 + 1 − 5 fx − fx 0 
x − 2x + 2
= lim
= lim x − 4 = xx lim = xx x + 2 = 4. lim m = lim x − x0
0
0 x2 x2 x2 x − 2 x−2 x−2
Definição de derivada
′

A derivada de uma função f em um ponto x 0 de seu domínio, denotada por f ´ x 0 , (f linha de x fx − fx 0  fx 0 + h − fx 0 
′
´′ zero), é dada por f ´ x 0  = xx lim lim
,
x − x 0 , (ou de forma equivalente f x 0  = h0
0
h desde que este limite exista.
Neste caso, dizemos que a função f é derivável ou diferenciável nesse ponto. Se f for derivável em todos os pontos do seu domínio, dizemos, simplesmente, que f é derivável ou diferenciável. Logo, em um ponto genérico x, fx temos: fx +