Derivadas

Definição de derivada e regras de derivação
Tomemos os coeficientes angulares, m(x) = (f(x)-f(a))/(x-a), também chamados declividades, das retas secantes a G(f) por (x,f(x)) e (a,f(a)). Se a ``reta limite'' de nossas considerações preliminares existir e não for vertical, significa que os coeficientes angulares m(x) tendem a um valor fixo, m(a), que é o coeficiente angular da reta tangente e que chamaremos derivada de f em a. Na definição precisa, a seguir, o ponto a é ponto de e também ponto de acumulação de A. Isto é, lembrando que A' denota o conjunto dos pontos de acumulação de A, impomos .
Definição 3.1.1 Consideremos uma função e . A função f é derivável em a, se existir o limite
(3.2)
Neste caso, o valor f'(a) é chamado derivada de f em a.
Há várias notações para a derivada. Sendo y=f(x), as seguintes são algumas das mais comuns:
O termo diferenciável é sinônimo de derivável e também será usado de agora em diante com a mesma liberdade com que passaremos de uma para qualquer outra das notações acima.
A notação dy/dx é devida a Leibnitz. No seu tempo a formalização do conceito de limite não havia sido atingida e o uso dessa notação pode ser explicado da seguinte forma: O acréscimo da variável x, , produz um acréscimo da variável y, . A idéia é que, ao se tornarem ``infinitamente pequenos'', esses acréscimos passavam a ser denotados por dx e dy, respectivamente, e operavam-se com eles formalmente como com dois números quaisquer. A razão transformava-se em dy/dx e este símbolo