Derivadas

Acadêmico:..............................................................................................
DERIVADA
O cálculo é a matemática das variações e o instrumento principal para estudar as taxas de variação é um método conhecido como derivação. O cálculo foi inventado no século XVII por Isaac Newton (1642 – 1727), Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716).
TAXA DE VARIAÇÃO
Noção intuitiva
Um certo móvel deslocou-se do ponto B para o ponto C. O ponto A é a origem, o ponto B encontra-se no marco 50 e o móvel passa por ela as 8:00 e o ponto C está no marco 200 e o móvel chega as 10:00 . Qual foi a velocidade média nesse trajeto?.
=1−01−0⟹=200−5010−8⟹=75/ .
Definição
Considere que uma grandeza depende de uma grandeza . Suponha que quando varia de 0 para 1 tivermos que irá variar de 0 para 1. Temos que a taxa de variação de em relação a srá dada por: =1−01−0
Usando as notações =1−0 e =1−0, podemos escrever a taxa de variação como: =
Exemplo1. A tabela abaixo representa o registro da temperatura a cada hora, a partir da meia-noite, em certa cidade. Qual foi a taxa de variação da temperatura de 6:00 h para 10:00 h? t 0 t 0 t 0
0
10,2
8
9,5
16
12,2
1
10,1
9
10,1
17
13,1
2
10,0
10
10,3
18
14,0
3
9,1
11
10,4
19
13,6
4
9,2
12
10,9
20
13,0
5
9,1
13
11,0
21
12,0
6
9,0
14
11,1
22
10,3
7
9,2
15
11,8
23
10
==10,3−9,010−6⟹0,325 /
Taxa de variação instantânea
Noção intuitiva
Considere que um móvel, inicialmente em repouso no ponto A, desloca-se para o ponto B de modo que segundos após deixar o ponto A ele tenha percorrido =52. Qual a velocidade do móvel após 4 segundos?
0
1
= 1 − 0 1−0
3,9
4
39,5
4
4,1
40,5
Parece razoável dizer que a velocidade em 4 é 40 /.
Temos que a velocidade média no intervalo [,4] será dada por = 4 −()4−.
Já a velocidade média no intervalo [4,] será dada por = −(4)−4.
Note que essas duas expressões são equivalentes:
= 4 −()4−=−[ − 4 ]−(−4)= −(4)−4= .
Fazendo