Derivada

D E R I V A D A

Índice:

I- A derivada

II- A derivada ao longo do tempo
…

III- Aplicações

IV- Bibliografia

I- A derivada

A derivada pode ser definida do ponto de vista geométrico da seguinte maneira:

Quando traçamos uma recta secante sobre dois pontos (A e B) de um gráfico podemos obter o seu declive. m=yA-yB xA-xB

Se aproximarmos o ponto A do ponto B, podemos obter uma recta tangente a B. Assim, quando os pontos A e B estiverem muito aproximados, podemos dizer que são um só ponto (xA aproxima-se de xB). A recta secante passa agora a ser tangente. Com o declive da recta tangente, define-se então a derivada no ponto B que varia consoante a variação da posição de B.
Ou seja, o valor da derivada (positiva, negativa ou zero) varia também com a monotonia do gráfico da função. Quando o ponto A assume-se como um máximo ou um mínimo da função, a recta tangente é horizontal e por isso a derivada é zero.

m=yA-yB xA-xB=0

Quando o ponto A está posicionado na zona onde o gráfico decresce, a derivada é negativa.

m=yA-yB xA-xB=-m

Quando o ponto A está posicionado na zona onde o gráfico cresce, a derivada é positiva.

m=yA-yB xA-xB=+m

Designa-se por derivada de uma função f no ponto a e representa-se por f'(a).

Designando x – a por h, a derivada de f, no ponto a, também se pode escrever:

A derivada assume-se diferentemente de função para função. A função derivada é a função que faz corresponder a cada ponto do domínio de f com derivada finita o valor da derivada nesse ponto.

A derivada de uma função afim é uma função de grau zero (constante). A função é sempre crescente, a derivada é positiva, igual ao declive da recta. f:R→R x↪mx+b f':R→R x↪m

A derivada de uma função constante é zero. f':R→R x↪0

Na função quadrática:

f:R→R