derivada

C´ alculo 1

6a. Lista

27/04/2012

1. Calcule f (a), pela defini¸c˜ao, sendo dados
a) f (x) = x2 + x e a = 1 b) f (x) =
c) f (x) =

1 ea=2 x2

√

d) f (x) =

xea=3

√
3

xea=2

2. Para cada um dos casos a seguir, dˆe exemplo (por meio de um gr´afico) de uma fun¸c˜ ao f , definida e diferenci´avel em R, tal que
(a) f (1) = 0.
(b) f (x) > 0 para todo x.
(c) f (0) < f (1).
(d) f (x) > 0 para x < 1 e f (x) < 0 para x > 1.
(e) f (x) > 0 para x < 0, f (x) < 0 para 0 < x < 2 e f (x) > 0 para x > 2.
3. Seja f (x) = x3 + 3x2 + 1, x ∈ R.
(a) Calcule a derivada f (x) e estude o sinal de f (x).
(b) Calcule limx→−∞ f (x) e limx→+∞ f (x).
(c) Utilize as informa¸c˜oes acima para esbo¸car um gr´afico de f .
4. Seja f (x) =

x2
1

se x ≤ 1 se x > 1

(a) f ´e cont´ınua em 1?
(b) f ´e diferenci´ avel em 1? Em caso afirmativo, calcule f (1).
5. Seja f (x) =

x2
2x − 1

se x ≤ 1 se x > 1

(a) f ´e diferenci´ avel em 1? Em caso afirmativo, calcule f (1).
(b) f ´e cont´ınua em 1?
6. Seja f (x) =

x2 se x ≤ 2 mx + b se x > 2

Ache os valores de m e b que fa¸ca f diferenci´avel em toda parte.
7. Se F (x) = x3 − 5x + 1, encontre F (1) e use-o para achar uma equa¸c˜ao da reta tangente ` a curva y = x3 − 5x + 1 no ponto (1, −3).

8. Se a reta tangente a y = f (x) ao gr´afico de f em (4, 3) passa no ponto
(0, 2), encontre f (4) e f (4).
9. Se G(x) = x/(1 + 2x), encontre G (a) e use-o para achar uma equa¸c˜ao da reta tangente ` a curva y = x/(1 + 2x) no ponto (−1/4, −1/2).
10. Encontre a equa¸c˜ ao da reta tangente ao gr´afico de y =

5 no ponto
(1 + x2 )

(1, 52 ).
11. Encontre as abscissas dos pontos do gr´afico de y = x3 + 2x2 − 4x + 5 onde a reta tangente ´e:
(a) horizontal;
(b) paralela ` a reta 2y + 8x − 5 = 0.
12. Mostre que existem exatamente duas retas tangentes ao gr´afico de y =
(x + 1)3 que passas pela origem. Escreva as equa¸c˜oes dessas retas.
13. Para todo λ > 0, a par´abola y = λx2 + 1