derivada

O desenvolvimento dos estudos matemáticos acompanhou a necessidade do homem de conhecer melhor o universo físico que o cerca. Particularmente, o Cálculo teve sua aplicação estendida aos fenômenos físicos mensuráveis como, por exemplo, eletricidade, ondas de rádio, som, luz, calor e gravitação.
A derivada é parte fundamental do Cálculo. A partir de agora faremos um estudo sobre esse assunto.
O conceito de derivada foi introduzido no século XVII quase simultaneamente pelo alemão Gottfried Wilhelm Leibniz
(1646-1716) e Sir Isaac Newton (1642-1727), trabalhando separadamente.
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO EM UM PONTO[Consideremos uma função f contínua e definida num intervalo ]a, b[; sejam xo e xo + Δx dois pontos desse intervalo.
Quando a variável x passa do valor xo para o valor xo + Δx sofrendo uma variação Δx (incremento de x), o correspondente valor da função passa de f(xo) para o valor f(xo + Δx) sofrendo, portanto, uma variação Δy (incremento da função f), onde
Δy = f(xo + Δx) – f(xo) conforme mostra a figura seguinte:
Dizemos que a derivada da função f no ponto xo é x y x o 

  lim = x f xo x f xo x xo 
  
 
( ) ( ) lim se ele existir e for finito.
Nesse caso, dizemos também que f é derivável no ponto xo.
NOTAÇÕES DA DERIVADA
A derivada de f será indicada por uma das quatro formas abaixo: f ’(x) dx df
4 2 8 4( )2 1 f(x ) 4 ( )2 1 4 [( )2 2 ( )2] 1 f(x ) 4x 1
) , : o ) f(x o f(x
0
0 0 0
2
0 0
0
     
              
 
  x x x x x x x x x x x
Calculando e x temos o     



  
 

0
0 0
Δ
Δ 4 4 2 1 ] lim x f(x ) f(x ) x 0 f ' (xo) lim x x
Substituindo na def inição de derivada: x [4x 2 8x x ( x)2 1] - [
0 0 dx dy y’ EXEMPLOS
1) Calcular a derivada da função f(x) = x² no ponto xo = 2.
Solução
Por tanto: f '( 2)4
 
 


 
 


 

  
 


   
 


  
 

              
   
