Deducao

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INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA

1. Dedução.
Como vimos, então, o método das Tabelas Verdade pode ser utilizado para mostrar que um argumento é válido ou inválido. No entanto, esse método apresenta dois sérios inconvenientes; em primeiro lugar, o número de linhas cresce muito rapidamente, à medida que aumenta o número de proposições simples envolvidas no argumento; com 10 proposições a tabela necessita de 1024 linhas, e com 11, o numero de linhas vai a 2048. Com mais umas poucas proposições, sua construção se torna impraticável.
A segunda restrição é ainda pior; no Cálculo de Predicados, que veremos a seguir, muitas vezes não existe um procedimento que permita estabelecer o valor lógico de uma dada afirmação, o que torna impossível a construção da Tabela Verdade.
Por esse motivo foram desenvolvidos outros métodos para que se possa mostrar a validade de um argumento. Tais métodos são chamados métodos dedutivos, e sua aplicação chama-se dedução. Em termos mais formais, o conceito de dedução pode ser apresentado da seguinte forma:
Dado um argumento P1 ∧ P2 ∧ ... ∧ Pn → Q chama-se demonstração ou dedução de Q a partir das premissas P1 , ... Pn, a seqüência finita de proposições X1, X2, ... Xk, tal que cada Xi ou é uma premissa ou decorre logicamente de proposições anteriores da seqüência, e de tal modo que a última proposição
Xk seja a conclusão Q do argumento dado.
Cada proposição Xi que incluímos na seqüência deve decorrer logicamente das anteriores; isso significa que deve ser obtida através da atuação de eqüivalências ou inferências sobre uma proposição ou uma conjunção de proposições anteriores.
Se for possível obter a conclusão Q através do procedimento de dedução, o argumento é válido; caso contrário, não é válido.
O processo de dedução consiste basicamente dos seguintes passos:
Dado um argumento
P1 ∧ P2 ∧ ... ∧ Pn → Q fazemos: •
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•

definimos o conjunto P constituído pelas premissas {P1, P2, ..., Pn}; sobre um ou mais elementos do conjunto fazemos atuar