Curvas

1
Funções Vetoriais

1.1.
Definição
Uma função vetorial é aquela cujo domínio é um conjunto de números reais e cuja r r

r

r

imagem é um conjunto de vetores. A equação σ (t ) = f (t )i + g (t ) j + h(t )k é chamada de equação vetorial e define uma curva C. As equações x=f(t), y=g(t) e z=h(t) são chamadas de equações paramétricas de C e pertencem a ℜ.

1.2.
Limite de Funções Vetoriais r Seja σ (t ) uma função com valores vetoriais cujos valores funcionais são dados por r r

r

r

r

σ (t ) = f (t )i + g (t ) j + h(t )k . Então, o limite de σ (t ) quando t tende a t1 será definido por: r r r r lim ( σ ( t )) = [ lim f ( t )] i + [ lim g ( t )] j + [ lim h( t )] k

t →t 1

t →t1

t →t1

t →t1

(1.1)

se lim f ( t ) , lim g ( t ) e lim h( t ) existirem. t→t1 t→t1

t→t1

1.3.
Continuidade de Funções Vetoriais r A função σ (t ) com valores vetoriais será contínua em t1 se, e somente se, as três condições seguintes forem satisfeitas: r i. σ (t ) existe r ii. lim σ (t ) existe t →t1

r

r

iii. lim σ (t ) = σ (t 1 ) t →t1

9

Capítulo 1 – Funções Vetoriais

1.4.
Derivada de funções vetoriais r r

Se σ (t ) for uma função com valores vetoriais, então a derivada de σ (t ) também será r uma função com valores vetoriais, denotada σ ' (t ) e definida por: r r

σ ( t + Δt ) − σ ( t )
Δt → 0
Δt

v

σ ' ( t ) = lim

(1.2)

se o limite existir.

1.4.1.
Propriedades da Derivada r r

Teorema: Sejam R(t ) e F (t ) funções vetoriais definidas num intervalo I C ℜn, r um escalar e f uma função real.

1.

r r d r r
( R ± F ) = R' ( t ) ± F' ( t ) dt 2.

r d r
( rR( t )) = rR' ( t ) dt 3.

r r r d f (t )R (t ) = f ' (t )R (t ) + f (t )R' (t ) dt 4.

r r r r r d r
R(t ) ⋅ F (t ) = R' (t ) ⋅ F (t ) + R (t ) ⋅ F' (t ) dt [

]

[

]

[

]

r r r r r d r
R(t ) × F (t ) = R' (t ) × F (t ) + R (t ) × F' (t )
dt