Construindo Uma Escala

Construindo uma Escala: A Escala Pitagórica
Sua construção é baseada na superposição de quintas (razão de 3/2) e suas inversões, as quartas (razão de 4/3). Por exemplo, partindo do intervalo de oitava dado pelas frequências fo e 2*fo pode-se formar a escala pitagórica da seguinte maneira:
Tomando fo como Dó, sobe-se uma quinta que é um Sol:
1*(3/2) = (3/2);
Subindo uma quarta a partir de Dó temos um Fá:
1*(4/3) = (4/3);
Baixando uma quarta a partir de Sol chega-se a Ré:
(3/2)/(4/3) = (9/8);
Quinta acima de Ré nos dá Lá:
(9/8)*(3/2)=(27/16);
Quarta abaixo de Lá nos dá Mi:
(27/16)/(4/3)= (81/64);
Quinta acima de Mi nos dá Si:
(81/64)*(3/2)= 243/128);
Esses valores são relativos aos intervalos entre fo (aqui tomada como referência a nota Dó) e as outras alturas da escala. Mas é importante saber quais são os intervalos entre cada altura. O intervalo entre Mi e Ré é dado por:
(81/64) / (9/8) = (9/8).
O intervalo entre Fá e Mi é de:
(4/3)/(81/64) = (256/243).
Essas notas Dó, Ré, Mi, Fá, Sol, Lá, Si formam a chamada escala diatônica de sete notas. Se calcularmos os intervalos entre todas as alturas da escala diatônica teremos apenas dois valores: (9/8) e (256/243), chamados respectivamente de tom pitagórico diatônico e semitom pitagórico diatônico.

Se continuarmos o ciclo de quintas e quartas teremos todas as outras notas representadas com sustenidos e bemóis. Por exemplo, uma quarta abaixo de Si nos dá Fá#: (243/128) / (4/3) = (729/512). Uma quinta abaixo de Fá nos dá Sib: (4/3) / (3/2) * 2 = (16/9).

O intervalo entre Sol e Fá# é um semitom diatônico: (3/2) / (729/512) = (256/243). Mas o intervalo entre Fá# e Fá é: (729/512) / (4/3) = (2187/2048). Esse intervalo é chamado semitom cromático pitagórico.
Se tomamos uma nota qualquer, como Fá por exemplo, e subirmos 12 quintas acima chegaremos a um Mi#, sete oitavas acima do Fá inicial. Esse Mi# é chamado enarmônico de Fá e num sistema temperado corresponde, de fato, ao Fá. Porém se subirmos 12 quintas (3/2)12 e