conicas

CURSO DE MATEMÁTICA - 2008

GEOMETRIA ANALITICA III
-ANÁLISE DE CÔNICAS
-SUPERFÍCIES QUÁDRICAS

UNIPRESS-2008

GEOMETRIA ANALITICA III – ANÁLISE DE CÔNICAS E SUPERÍCIES QUÁDRICAS

ANÁLISE DE CÔNICAS
Foi o grego Apolônio de Praga em seu tratado “As Cônicas” quem introduziu os nomes elipse, hipérbole e parábola às secções planas no cone. A circunferência foi estudada muito antes sem ser considerada como cônica.
Adotada como modelo para as órbitas dos planetas por Copérnico, somente mais tarde, a partir de observações apuradas de Tycho Bhmer, Johanes Kepler consegue demonstrar que tais órbitas eram realmente elípticas. Os modelos matemáticos a partir das cônicas, tem hoje inúmeras aplicações na administração de empresas, na análise de produção, na ótica e no estudo do movimento dos corpos.
A elipse, a hipérbole e a parábola são chamadas genericamente secções cônicas, pois são obtidas através da intersecção de uma superfície cônica por plano como é visto na figura-1.

ELIPSE

PARÁBOLA

HIPÉRBOLE

Figura-1: Secções Cônicas

ELIPSE
Denominamos elipse ao lugar geométrico dos pontos de um plano para os quais a soma das distâncias a dois pontos dados F1 e F2 do plano, é igual a uma constante 2a maior que a distância F1F2, conforme figura-2. y x

Figura-2: Elipse

Os pontos F1 e F2 chamam-se focos e a distância entre eles que vamos representar por 2 c será a distância focal da elipse, ou seja, dF1 F2 = 2 c . Chama-se excentricidade da elipse a relação e =

c
.
a

EQUAÇÃO DA ELIPSE
Vamos definir a equação da elipse de centro na origem, e os focos no eixo das abscissas (figura3) teremos.

d P F1 + d P F2 = 2 a
Figura-3

2

( x + c)




+ y2 +
2

2

( x − c)



2
( x + c) + y 2  = 2a −

+ y 2 = 2a

x 2 + 2cx + c 2 + y 2 = 4a2 − 4a
2

4a

( x − c)


a


( x − c)

2

2


2
( x − c) + y 2 
2

( x − c)

+ y 2 + x 2 − 2cx + c 2 + y 2

+ y 2 = 4a2 − 4cx
2
2
+