conicas
1
1
Cónicas
As cónicas são curvas planas obtidas por intersecção de um cone circular recto com um plano. • Se o plano intersecta todas as geratrizes do cone, a curva obtida é uma elipse.
• Se o plano é paralelo apenas a uma geratriz, a curva obtida é uma parábola.
• Se o plano é paralelo a duas geratrizes, a curva obtida é uma hipérbole.
Elipse
Parábola
Hipérbole
Equação Geral das Cónicas (eq. de 2o grau em x e y):
Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, com A, B, C, D, E, F ∈ IR, sendo A, B e C não simultaneamente nulos.
• Se B 2 − 4AC < 0, (1) é a equação de uma elipse.
• Se B 2 − 4AC = 0, (1) é a equação de uma parábola.
• Se B 2 − 4AC > 0, (1) é a equação de uma hipérbole.
(1)
Dep. de Matemática da F.C.T.U.C. - Análise Matemática IV - 2005/2006
1.1
2
Elipse
Elipse é o conjunto dos pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos (focos) é constante e maior que a distância entre eles.
Equação Reduzida
2
x2
+ y2 = 1 (a > b) a2 b
Equação Reduzida
2
x2
+ y2 = 1 (b > a) a2 b y 1.5
y
1
1
0.5
0.5
-1 -0.5
-1.5
-1 -0.5
1
0.5
1.5
x
0.5
1
x
-0.5
-0.5
-1
-1.5
-1
Focos : (±c, 0) , sendo c2 = a2 − b2
Eixo maior = 2a
Eixo menor = 2b
Distância focal =2c
Vértices : (±a, 0) , (0, ±b)
Focos : (0, ±c) , sendo c2 = b2 − a2
Eixo maior = 2b
Eixo menor = 2a
Distância focal =2c
Vértices : (±a, 0) , (0, ±b)
Equação Reduzida da Elipse centrada em (α, β):
(x − α)2 (y − β)2
+
= 1. a2 b2 y 2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1
0
1
2
3
4
x
Dep. de Matemática da F.C.T.U.C. - Análise Matemática IV - 2005/2006
1.2
3
Parábola
Parábola é o conjunto dos pontos do plano equidistantes de um ponto fixo (foco) e de uma recta (directriz), que não contém o ponto.
Equação Reduzida y 2 = 2px (p > 0)
Equação Reduzida y 2 = −2px (p > 0) y y
4