CN06 Sistemas Lineares 2015

Sistemas de Equações Lineares

Um sistema de equações lineares é qualquer conjunto de equações lineares.
Ex.: onde os valores x= 1 e y= 2 é a solução do sistema.
Um sistema pode ter solução ou não:

Sistema:
1) Não tem solução (sistema impossível)

2) Tem solução (sistema possível)
2a) Solução única (Possível determinado)

2b) Infinitas soluções (Possível indeterminado)

1) r s 2a) r s 2b) r coincide com s

Um sistema de equações lineares pode ser resolvido aplicando-se as
Operações Elementares (sobre linhas).
São operações elementares:

1) Permutar duas equações (linhas).
Ex.

2) Multiplicar uma equação (linha) por um número não nulo.
Ex.

3) Substituir uma equação (linha) pela soma dela com outra do sistema.
Ex.

Podemos também “combinar” essas operações.
Ex.

Resolução de Sistemas (métodos)

Substituição: isola-se uma variável de uma das equações e substituí-se na outra.
Comparação: isola-se a mesma variável nas duas equações e “compara-se” os valores igualando os resultados.

Esses dois métodos se prestam para sistemas com duas equações e duas incógnitas. Variantes desses dois métodos podem ser formuladas para resolver sistemas com 3 ou mais equações.

Como exercício, resolva os sistemas anteriores pelos métodos mencionados.

Respostas: 1)(8, -2) 2)(15/2, -3/2) 3)(4, 1) 4)(2, 1)

Método da Eliminação de Gauss

Trata-se de um processo geral de resolução de sistemas que utiliza as operações elementares.
Objetiva substituir o sistema dado por um sistema equivalente (com mesma solução), escrito na forma escalonada ("triangular").
Ex.

Solução: (x, y, z) = (4, 1, 3)

Para um sistema de equações reduzido à forma escalonada com r equações e n incógnitas, com os coeficientes da diagonal (escalonada) diferentes de zeros, temos:

1) Sistema possível e