Cap 9 Processo de ortonormalizacao
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Álgebra Linear - Prof a Ana PaulaPROCESSO DE ORTOGONALIZAÇÃO
Dado um espaço vetorial euclidiano V e uma qualquer B v1, v2, possível, a partir dessa base, determinar uma base ortogonal de V.
Supondo que v 1 , v 2 ,
desse espaço, é
, vn
, v n não são ortogonais, considere-se w1 e determine-se o valor de w 2
v1
w 1 seja ortogonal a w 1 : v2 w1 w1 0 v2 w1 w1 w1
v2
Isto é, w2 v2
v2. w1 w1. w1
w1
Assim os vetores w1 e w2 são ortogonais.
Considere-se o vetor: w 3 v 3
2w2
1 w 1 e determine-se os valores de que o vetor w3 seja ortogonal aos vetores w 2 e w 1 :
Tendo em vista que w 2 w 1
v3
2w2
1w1
w1
0
v3
2w2
1w1
w2
0
0, tem-se: v3 w1
1
w1 w1 e
2
2
e
1
de maneira
v3 w2 w2 w2
.
Isto é, w3 v3 w2 w2 w2
v3
w2
v3 w1 w1 w1
w1
Assim os vetores w 3 , w 2 e w 1 são ortogonais.
Pode-se concluir o teorema por indução, admitindo que, por esse processo, tenham sido obtidos (n-1) vetores w 1 , w 2 , , w n 1 e considerar o vetor: wn sendo
1,
2,
Os valores de
,
1,
n 1
n 1wn 1
2w2
1w1
tais que o referido vetor w n seja ortogonal aos vetores w 1 , w 2 ,
, n 1 que aparecem em w n são: vn w1 , vn w2 vn w3 w1 w1 2 w2 w2 , 3 w3 w3 ,
2,
1
Assim, a partir de B
31
vn
v1, v2,
,
n 1
vn wn 1 wn 1 wn 1 .
, v n , obtivemos a base ortogonal w 1 , w 2 ,
, wn .
, wn 1.
O processo que permite a determinação de uma base ortogonal a partir de uma base qualquer chama-se Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt.
Para se obter uma base ortonormal, basta normalizar cada w i . Fazendo u i base B
u1, u2,
, u n que é uma base ortonormal obtida a partir da base B
wi
|w i |
v1, v2,
, obtemos a
, vn .
Sendo assim, os vetores w 1 , w 2 , , w n podem ser expressos do seguinte modo:
1) w 1 v 1
2) w 2 v 2 w 1 v 2 v 2 u 1 |ww11 | w2 v2 v2 u1 u1
3) w 3 wn v3 vn 2w2
vn un
1w1
1
un
1
v3
v3 u2 vn u2 u2
w2
|w 2 |
v3 u1
w1
|w 1 |
w3
v3
v3 u2 u2
v3 u1 u1
vn u1 u1
Exemplo: Seja B
1, 1, 1 , 0, 1, 1 , 0, 0, 1 uma base do 3 . Verifique se esta