Calculus

Lista de Exerc´ ıcios de C´lculo I para os cursos de Engenharia - Derivadas a

1. Calcule a derivada da fun¸ao dada usando a defini¸˜o de limite. c˜ ca (a) f (x) = 2 (b) f (x) = −5x (c) f (x) = 2x + 1 (d) f (x) = 2x2 + x − 1

2. O limite abaixo representa f (a) para alguma fun¸ao e algum n´mero a. Ache f (x) e a em c˜ u cada caso. (a) lim (3 + h)2 − 9 h→0 h (b) lim cos(π + h) + 1 h→0 h

3. Mostre que f (x) =

√ 3 x ´ cont´ e ınua em x = 0, mas n˜o diferenci´vel em x = 0. a a

4. Calcule a derivada da fun¸ao dada. c˜ (a) f (x) = (b) y = 1 x7 (d) f (x) = 2 cos(x) − 3sen(x) (e) f (x) = cos(x) x

5 + 2senx (2x)3
4 2

(f) f (x) = x3 sec(x) − (g) f (x) = sec(x)tg(x)

√

2tg(x)

(c) g(x) = x 5 − x 3

5. Usando a regra do quociente e do produto, ache dy/dx|x=1 . (a) y = (b) y = 2x − 1 x+3 4x + 1 x2 − 5 (c) y = 3x + 2 x (x−5 + 1) x−1 x+1

(d) y = (2x7 − x2 )

6. Determine d2 y/dx2 . (a) y = 7x3 − 2x2 + x − 1 3x + 1 (b) y = 5x (c) y = (x3 − 4)(2x + 3)

7. Ache a coordenada x do ponto sobre o gr´fico de y = x2 no qual a reta tangente ´ paralela a e a reta secante que corta o curva em x = −1 e x = 2. ` 1

8. Ache a aproxima¸ao linear local de f (x) = c˜ √ e 1, 1. 9. Ache dy/dx diferenciando implicitamente. (a) x3 + xy − 2x = 1 (b) x2 + y 2 = 100

√

x + 1 em x0 = 0 e use-a para aproximar

√ 0, 9

(c) x2 y + 3xy 3 − x = 3 (d) 1 1 + =1 x y

10. Para as fun¸oes a seguir, ache os pontos cr´ c˜ ıticos de f (se houver), encontre o(s) intervalo(s) aberto(s) onde a fun¸ao seja crescente ou decrescente e aplique o Teste da Primeira Derivada c˜ para identificar todos os extremos relativos. (a) f (x) = −2x2 + 4x + 3 (b) f (x) = x5 − 5x 5

11. Encontre os pontos de inflex˜o e discuta a concavidade do gr´fico da fun¸˜o. a a ca (a) f (x) = x3 − 6x2 + 12x (b) f (x) = x(x − 4)3 12. Nos ´ ıtens abaixo, ache: (i) os intervalos nos quais f ´ crescente; (ii) os intervalos nos quais e f ´ decrescente; (iii) os intervalos abertos nos quais f ´ cˆncava para