Calculo i

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4 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU É uma função f de IR em IR definida por f ( x)  ax 2  bx  c , com a  0 . Seu domínio é D( f )  IR e a imagem precisa ser analisada. A função do 2º grau, também denominada por função quadrática, é um polinômio de grau 2. a é o coeficiente de x² b é o coeficiente de x c é o termo independente Chama-se função completa àquela em que a, b e c são não-nulos, e função incompleta àquela em que b ou c ou os dois juntos são nulos. Exemplos: 1) f(x) = -x2 +100x, em que a = -1, b =100 e c = 0. 2) f(x) = 3x2 -2x +1, em que a = 3, b = -2 e c = 1.

4.1 Gráfico da função quadrática O gráfico de uma função quadrática é sempre uma parábola. Sua concavidade depende do sinal do coeficiente a: y a>0 → concavidade para cima → x

y a 0) da função. Também, é o ponto de intersecção entre a parábola e o eixo de simetria. A reta paralela ao eixo Oy que passa pelo vértice é o eixo de simetria da parábola.

Sendo y = ax² + bx + c, para x = 0, teremos y = c, isto é, a parábola corta o eixo Oy no ponto de ordenada c. Existe outro ponto de ordenada igual a c. Vamos achar a sua abscissa.

Logo:
V ( b  , ) 2a 4a

onde:

xv  

b 2a

e

yv  

 4a

  b 2  4ac

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4.4 Valor máximo ou mínimo da função De modo geral, dada a função f: IR →IR tal que f(x) = ax²+bx+c, com a ≠ 0, se V(xv, yv) é o vértice da parábola, temos então:  a >0 → concavidade voltada para cima → valor mínimo = y v  
Im   y v ,   ou Im ={y  IR  y  
 }. 4a  4a  4a

 a 0 (função positiva) f(x) < 0 (função negativa) f(x) = 0 (função nula) Resolver esse problema significa estudar o sinal da função quadrática para cada x  IR. Na determinação do sinal da função quadrática, devemos começar pelo cálculo do discriminante   b 2  4ac , quando três casos distintos podem aparecer:

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1º)  > 0 Neste caso, a função admite dois zeros reais diferentes: x’ e x’’ (com x’’ < x’ ) e a parábola que representa a função intersecta o eixo Ox em