calculo numerico

Erros
- Aritmética de ponto flutuante
- Erros

1.3 - Aritmética de ponto flutuante
• Os computadores representam números na forma de ponto flutuante. Na aritmética de ponto flutuante o número é representado na forma:
± (0.d 1d 2 K d t ) × β e onde β é a base; t é o número de dígitos na mantissa
0 ≤ d j ≤ (β − 1), j = 1,K, t , d 1 ≠ 0 e é o chamado expoente no intervalo [l,u].

• Exemplo: Numa máquina que opera no sistema β = 10; t = 3; e ∈ [ −5, 5]
• os números são representados na forma
± (0.d1 d 2 d 3 ) × 10 e , 0 ≤ d j ≤ 9, d1 ≠ 0, e ∈ [−5, 5]

• Nesta máquina, em módulo, o m = (0.100) × 10 −5 = 10 −6 menor número, em módulo:

maior número, em módulo: M = (0.999) × 10 5 = 99900

• Considere um número real tal que m≤ x ≤M

• Então temos que:
i) o número x = 235.89 = 0.23589 × 10 3 nesta máquina (que opera com três dígitos) será representado por x = 0.235 × 10 3 , se for usado o truncamento e x = 0.236 × 10 3 , se for usado o arredondamento. ii) x ≤ m (underflow). Exemplo: x = 0.267 × 10 −7 iii) x ≥ M (overflow). Exemplo: x = 0.789 × 10 9

Comentário: Precisão Dupla
• Note que em algumas linguagens de programação é possível declarar uma variável em dupla precisão.
• Neste caso, esta variável será representada no sistema de aritmética da máquina, aproximadamente, com o dobro de dígitos disponíveis na mantissa.

Exemplos:
• Considere β = 10; t = 3; e ∈ [ −4, 4] x arredondamento

truncamento

1.25

0.125 × 101

0.125 × 101

10.053

0.101× 10 2

0.100 × 10 2

-253.15

− 0.253 × 10 3

− 0.253 × 10 3

2.71828

0.272 × 10 1

0.271 × 10 1

0.000002

Underflow

Expoente+4

Erros
• Erro absoluto: diferença entre o valor exato de um número x e de seu valor aproximado x :

EAx = x − x

• Erro relativo: erro absoluto dividido pelo valor aproximado

x−x
ER x = x Normalmente não temos o valor de x !!!!

Exemplos
• Sabendo-se que 3.14 ≤ π ≤ 3.15 , então uma estimativa do