Calculi ii

Engenharia Civil - Campus Estoril
Cálculo de Várias Variáveis - Lista de Exercícios 2 Professor: Luiz Carlos Fernandes

Cônicas e Quádricas
Questão 1: Identifique o tipo de seção cônica cuja equação é dada e use o método de completar quadrados para fazer o seu esboço, indicando seu centro e vértices em cada caso. (a) x2 = y + 1 (b) x2 = y 2 + 1 Questão 2: (c) x2 = 4y − 2y 2 (d) y 2 − 8y = 6x − 16 (e) y 2 + 2y = 4x2 + 3 (f) 4x2 + 4x + y 2 = 0

Use cortes para esboçar e identificar as superfícies. (Faça os cortes passando pelos

planos coordenados e passando por curvas de nível, quando necessário.)

(a) x = y 2 + 4z 2 (b) x2 = y 2 + 4z 2 (c) −x2 + 4y 2 − z 2 = 4

(d) 36x2 + y 2 + 36z 2 = 36

(e) y = z 2 − x2

Questão 3: Faça o esboço de algumas curvas de nível das funções para construir o seu mapa de contorno. (a) f (x, y) = (y − 2x)2 (b) g(x, y) = y 2 − x2 (c) h(x, y) = (d) f (x, y) = − x2 + y 2 16 − 4x2 − y 2

Questão 4:

Coloque a equação na forma padrão, classifique a superfície e esboce-a. (Use o

completamento de quadrados quando necessário.)

(a) z 2 = 4x2 + 9y 2 + 36 (b) x = 2y 2 + 3z 2 (c) 4x2 + y 2 + 4z 2 − 4y − 24z + 36 = 0

(d) 4y 2 + z 2 − x − 16y − 4z + 20 = 0

(e) x2 − y 2 + z 2 − 2x + 2y + 4z + 2 = 0

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Algumas respostas √ 1. (a) Parábola (0, −1) ; (b) Hipérbole; (c) Elipse (0, 1), (± 2, 1) ; (d) Parábola; (e) Hipérbole (0, −1), (0, 1), (0, −3); (f) Elipse. 2. (a) Paraboloide elíptico com eixo no eixo x; (b) Cone elíptico com eixo no eixo x; (c) Hiperboloide de duas folhas; (d) Elipsoide; (e) Paraboloide Hiperbólico. 2 2 2 2 2 4. (a) − x − y4 + z = 1 Hiperboloide de duas folhas com eixo no eixo z; (b) x = y3 + z2 Paraboloide 9 36 6 elíptico com vértice na origem e eixo no eixo x; (c) x2 + (y−2) + (z − 3)2 = 1 Elipsoide com centro 4 (0, 2, 3); (d) (y + 1)2 = (x − 2)2 + (z − 1)2 Cone circular com vértice (2, −1, 1) e eixo paralelo ao eixo y. 5. Bibliografia STEWART, James.