Cadeia

Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matem´atica

C´ alculo 1
A Regra da Cadeia

Suponha que, a partir de uma lona de pl´astico com
6 metros de comprimento e 3 de largura, desejamos construir uma barraca com vista frontal na forma de um triˆangulo is´osceles. Se denotarmos por h a altura da barraca e por b o comprimento da sua base, a situa¸c˜ao pode ser descrita pela figura ao lado.
Queremos escolher as dimens˜oes de h e b de modo que o volume da barraca seja o maior poss´ıvel.

3m

h

3m

b

Para tanto, vamos inicialmente observar que este volume, em metros c´ ubicos, ´e dado pela a´rea do triˆangulo que fornece a vista frontal da barraca multiplicado por 3, isto ´e, o volume
´e exatamente (3/2)bh.
´ importante notar que o valor de b depende de h. De fato, usando o Teorema de
E
√
Pit´agoras, vemos que 32 = h2 + (b/2)2 , ou ainda, b = 2 9 − h2 . Assim, podemos construir uma fun¸c˜ao V (h) que fornece, para cada valor de h, o volume da barraca. A express˜ao dessa fun¸c˜ao ´e como se segue:
√
V (h) = 3h 9 − h2 , h ∈ (0, 3).
Analisando o gr´afico da fun¸c˜ao V ao lado conclu´ımos que o seu maior valor ´e atingido para algum h0 ∈ (0, 3). Nas semanas seguintes vamos aprender como justificar melhor essa afirma¸c˜ao, bem como desenvolver uma t´ecnica que nos permita tra¸car o gr´afico da fun¸c˜ao. Por ora, vamos acreditar que o gr´afico ´e de fato como acima e nos concentrar em encontrar o valor h0 que maximiza a fun¸c˜ao V .
Ainda explorando o gr´afico, vemos que a fun¸c˜ao V ´e crescente no intervalo (0, h0 ). Isto est´a intimamente relacionado com o sinal da derivada V ′ neste intervalo. De fato, note que a reta tangente em qualquer ponto do tipo (h, V (h)) com h ∈ (0, h0 ) tem inclina¸c˜ao positiva.
Como esta inclina¸c˜ao ´e dada pelo n´ umero V ′ (h), conclu´ımos que a derivada ´e positiva no intervalo (0, h0 ). De maneira an´aloga temos que V ′ ´e negativa em (h0 , 3), intervalo onde a fun¸c˜ao V ´e decrescente.
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As observa¸c˜oes acima nos d˜ao a pista