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UFBA - Vestibular 2005 2a fase
Matemática
Resolução por Maria Antônia Conceição Gouveia

Questão 01 ( Valor: 15 pontos)
Sendo an a parte real do número complexo , para cada número natural n, determine S = a0 + a1 + a2 + ...

RESOLUÇÃO:

n = 0

a0 = 1

n = 1

a1 = 0

n = 2

a2 =

n = 3

a3 = 0

n =4

a3 =
.
.
.

.
.
.

.
.
.

a0 + a1 + a2 + a3 + ..... = 1 + 0 + +0 + + 0 + + .... = 1 + + + + .... = ( soma dos termos de uma PG infinita de primeiro termo 1 e razão ).

Questão 02: ( Valor: 15 pontos)

Sabendo que a soma dos inversos das raízes do polinômio p(x) = 2x4 + 3x3− 4x2 + ax + b é igual a e que o resto da divisão de p(x) por x − 2 é igual a 36, determine a e b.

RESOLUÇÃO:

como o resto da divisão do polinômio por x – 2 é 36  p(2) = 36  p(2) = 2(16) +3(8)- 4(4) +2a + b = 36  2a + b = - 4.

Resolvendo o sistema

Questão 03: ( Valor: 15 pontos)

Considere uma elipse e uma hipérbole no plano cartesiano, ambas com centro na origem e eixos de simetria coincidindo com os eixos coordenados.
Sabendo que os pontos (3,0) e pertencem à elipse e que (, 0) e (2, 1) pertencem à hipérbole, determine os pontos de interseção dessas cônicas.

RESOLUÇÃO:

Equação da elipse: .
Como os pontos (3,0) e pertencem à elipse, temos:

A equação da elipse em questão é .
Equação da hipérbole:

Como os pontos (, 0) e (2, 1) pertencem à hipérbole, temos
.

A equação da hipérbole em questão é .
A interseção dessas cônicas é dada pela solução do sistema:

Resposta:

A interseção dessas cônicas é o conjunto .

Questão 04: ( Valor: 20 pontos)

Determine os valores de p para os quais a parábola e a reta, representadas pelas equações y = 2x2 − x + 3 e y = px −1, se interceptam em dois pontos distintos. RESOLUÇÃO:

Para que a parábola e a reta, representadas pelas equações y = 2x2 − x + 3 e y = px −1 se interceptem em dois pontos distintos é preciso que a equação
2x2