biologia

M´todos Matem´ticos em Biologia e Medicina — 2014 e a
Exerc´
ıcios 1 — epidemiologia, derivada de Lie
1. Derivada de Lie, pontos de equil´ ıbrio 1) Considere os campos de vetores em R2 definidos por:
V (x, y) = (2x, −3y)

W (x, y) = (x + 3y, 2x + 2y)

a) Escreva as equa¸oes diferenciais associadas a V e a W . c˜ b) Represente no plano o campo de vetores V nos pontos (1, 0), (2, 0), (0, 0), (0, 1), (0, 2),
(1, 1), (1, 2). Fa¸a o mesmo para o campo de vetores W . c c) Verifique se a origem ´ um ponto de equil´ e ıbrio de V (x, y) e de W (x, y).
d) Mostre que o primeiro quadrante ´ invariante para a equa¸˜o diferencial associada a V . e ca
e) Mostre que o primeiro quadrante ´ positivamente invariante mas n˜o ´ invariante para a e a e equa¸ao diferencial associada a W . c˜ f) Calcule as derivadas de Lie segundo V e segundo W das fun¸oes f (x, y) = x3 y 2 e g(x, y) = c˜ (x − y)4 (2x + 3y) e decida se alguma delas ´ integral primeira de algum dos dois campos de e vetores.
2. Modelos SI e SIS
Considere os modelos para uma popula¸˜o em que S est˜o sucept´ ca a ıveis e I est˜o infectados, a em cada instante t, em uma popula¸ao total N = I + S: c˜ ˙
˙
S = −βIS
S = −βIS + γI
(SI)
(SIS) β, γ > 0
˙ = βIS
˙ = βIS − γI
I
I
2) Encontre todos os pontos de equil´ ıbrio de (SI) e de (SIS).
3) Seja f (S, I) = S + I. Calcule as derivadas de Lie LvSI f , LvSIS f para os campos de vetores associados a (SI) e (SIS), respectivamente. Fa¸a o mesmo para f (S, I) = S + I 2 . c 4) Se (S(t), I(t)) for uma solu¸ao de (SI) com 0 < S(0) < N , 0 < I(0) < N e S(0) + I(0) = N c˜ ent˜o para todo t ∈ R tem-se 0 < I(t) < N . Explique porque. a 5) Se (S(t), I(t)) for uma solu¸ao de (SIS) com 0 < S(0) < N , 0 < I(0) < N e S(0) + I(0) = N c˜ ent˜o para todo t > 0 tem-se 0 < I(t) < N . Explique porque. a ˙
6) Substituindo S por N −I na equa¸ao para I em (SI), obt´m-se a equa¸ao diferencial separ´vel: c˜ e c˜ a
˙
(SI)
I = βI(N − I)