aula 1

Além dos exercícios da aula anterior, resolva os problemas a seguir.

Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes e Homogêneas.
A análise de vibrações em sistemas mecânicos complexos pode ser feita com base na análise de sistemas simples de vibrações. Por exemplo, o movimento de um corpo de massa m, fixo na extremidade de uma mola, serve como modelo simples de vibrações mecânicas.
Para entender esse modelo simples, considere um corpo de massa m, fixo na extremidade de uma mola cuja constante de elasticidade é k, positiva. Denote por x a distância do corpo de uma posição de equilíbrio, ( x em função do tempo t : x( t ) ), de modo que se x for positiva então a mola está esticada e se x for negativa ela está comprimida. Vamos chamar esse sistema de: sistema mola-massa.
Pesquise para saber mais sobre esse sistema.
Esse sistema pode ser ligado a um freio amortecedor que produz uma força na direção aposta à direção do movimento do corpo. Suponhamos essa força , Fa proporcional avelocidade v, v= dx/dt, ou seja, Fa = - c dx/dt , onde c é a constante de proporcionalidade do freio amortecedor. Fa pode ser entendida como força de atrito, no nosso sistema.
Com base na lei de Newton e conceitos físicos pode ser mostrado que m x'' + c x' + k x = F(t) é a equação diferencial que representa o movimento do corpo nesse sistema mola massa, onde F(t) é uma dada força externa ao sistema.

Se for dado um sistema onde m=0,5 kg, k= 4 N/m, sem amortecimento e sem forças externas, então teremos a equação diferencial e condições iniciais:

0,5x''+4x=0 x(0)=x0 x'(0)=v0 como modelo do sistema.

De que ordem é essa equação diferencial? Como resolvê-la?

2) Um circuito elétrico LRC é um elemento básico na construção de redes e circuitos elétricos mais complexos. Ele consiste num resistor, com uma resistência de R ohm, um indutor com indutância de L henry e um capacitor com capacitância de C farad, em série, com uma fonte eletromotiva (bateria ou gerador) que