ATPS Equações Lineares etap 1

Equações diferenciais: Aplicações e Modelagem
Introdução
A Teoria das Equações Diferenciais é objeto de intensa atividade de pesquisa, pois apresenta aspectos puramente matemáticos e uma multiplicidade de aplicações, além de apresentar diversas ramificações.

Modelagem
A modelagem é de uma maneira geral um processo na obtenção de um modelo. Modelar é uma ação inerente a todas as áreas das ciências sociais, humanas, exatas, biológicas e da tecnologia.
O modelo matemático, segundo BASSANEZI (2002, p.20), “é um conjunto de símbolos e relações matemáticas que representam de alguma forma o objeto estudado”.
Em alguns casos, ajustamos funções a dados experimentais através do uso de tentativa e erro. Em outros casos, assumimos uma postura mais teórica, que nos conduz a uma equação diferencial cuja solução é a função procurada.

Exemplo de modelagem:
Como se forma uma camada de gelo:
Quando se forma gelo em um lago, a primeira parte que congela é a superfície. À medida que o calor da água se move para cima através do gelo e se perde no ar, formam-se mais gelo. A pergunta é: “Qual é a espessura da camada de gelo?” Como a espessura aumente com o passar do tempo, ela deve ser uma função crescente. Além disso, a medida que o gelo vai ficando mais espesso, ele isola melhor e, portanto, é de se esperar que a camada vá se formando mais devagar à medida que o tempo passa. Consequentemente a função espessura é crescente, mas com uma tava decrescente e convexa.
Para obter informação mais detalhada sobre a função espessura, precisamos fazer algumas hipóteses. Suponha que y represente a espessura do gelo como função do tempo, t. Como quanto mais espesso é o gelo mais tempo é necessário para que o calor o atravesse, vamos supor que a taxa segundo a qual o gelo se forma seja inversamente proporcional à espessura. Em outras palavras, vamos supor que existe uma contente k tal que: ,
De modo que: = onde k > 0

Esta equação diferencial permite encontrar uma