as conicas

As cônicas

Foi o grego Apolônio de Praga em seu tratado “As Cônicas” quem introduziu os nomes elipse, hipérbole e parábola às secções planas no cone. A circunferência foi estudada muito antes sem ser considerada como cônica.
Adotada como modelo para as órbitas dos planetas por Copérnico, somente mais tarde, a partir de observações apuradas de Tycho Bhmer, Johanes Kepler consegue demonstrar que tais órbitas eram realmente elípticas. Os modelos matemáticos a partir das cônicas, tem hoje inúmeras aplicações na administração de empresas, na análise de produção, na ótica e no estudo do movimento dos corpos.
A elipse, a hipérbole e a parábola são chamadas genericamente secções cônicas, pois são obtidas através da intersecção de uma superfície cônica por plano como é visto na figura-1.

Denominamos elipse ao lugar geométrico dos pontos de um plano para os quais a soma das distâncias a dois pontos dados F1 e F2 do plano, é igual a uma constante 2a maior que a distância F1F2, conforme figura-2.
ELIPSE PARÁBOLA HIPÉRBOLE Figura-1: Secções Cônicas x y

Figura-2: Elipse
Os pontos F1 e F2 chamam-se focos e a distância entre eles que vamos representar por 2 c será a distância focal da elipse, ou seja, 12FFd2c=. Chama-se excentricidade da elipse a relação c e a
Vamos definir a equação da elipse de centro na origem, e os focos no eixo das abscissas (figura- 3) teremos.

x c y x c y 2a x c y 2a x c y x 2cx c y 4a 4a x c y x 2cx c y

4a x c y 4a 4cx

a x c y a cx a x 2a cx a c a y a 2a cx c x a c x a y a a c

a c x a y a a c como: a2 – c2 = b2, temos: b2x2 + a2y2 = a2 b2 dividindo por (a2 b2), chegamos a equação da elipse,

INTERSECÇÃO DE UMA RETA COM A ELIPSE Sejam as equações da reta e da elipse: y m x n

a b
As soluções do sistema darão as coordenadas dos pontos de intersecção da reta com a elipse. TANGENTES A ELIPSE

Portanto temos:
É a equação das retas tangentes à elipse e cujo coeficiente angular é m. Seja, portanto, a reta que passa