artigo cientifico

COORDENADAS
POLARES

• Estendemos o significado de coordenadas polares (r, θ) para o caso no qual r é negativo convencionando que, como na figura abaixo, os pontos (- r, θ) e (r, θ) estão na mesma reta passando por O e estão à mesma distância
|r| de O, mas em lados opostos de O.

• Se r > 0, o ponto (r, θ) está no mesmo quadrante que θ; se r < 0, ele está no quadrante do lado oposto do pólo.
Observe que (-r, θ) representa o mesmo ponto que (r, θ +
π).
• Vejamos alguns exemplos:

SOLUÇÃO:

• No sistema de coordenadas cartesianas cada ponto tem apenas uma representação, mas no sistema de coordenadas polares cada ponto tem muitas representações. Por exemplo, o ponto (1, 5π/4) poderia ser escrito como (1, -3π/4) ou (1, 13π/4) ou (-1, π/4).
Observe as figuras abaixo.

• A relação entre as coordenadas polares e cartesianas pode ser vista a partir da próxima figura, na qual o pólo corresponde à origem e o eixo polar coincide com o eixo x positivo.

• Se o ponto P tiver coordenadas cartesianas (x, y) e coordenadas polares (r, θ), então, a partir da figura anterior, temos:

e também

• Embora as equações 1 tenham sido deduzidas a partir da figura anterior, que ilustra o caso onde r > 0 e 0 < θ < π/2, essas equações ainda são válidas para todos os valores de r e θ.

• As equações 1 nos permitem encontrar as coordenadas cartesianas de um ponto quando as coordenadas polares são conhecidas. Para encontrarmos r e θ quando x e y são conhecidos, usamos as equações

que podem ser deduzidas a partir das equações 1 ou simplesmente lidas a partir da figura ao lado.

• Exemplo 1:

• Converta o ponto (2, π/3) de coordenadas polares para cartesianas. • Exemplo 2:
• Represente o ponto com coordenadas cartesianas (1, -1) em termos de coordenadas polares.

OBSERVAÇÃO:
• As equações 2 não determinam univocamente θ quando x e y são dados, porque, à medida que θ aumenta no intervalo 0    2 , cada valor de tg θ