Apricações derivadas

As derivadas são utilizadas nas mais diversas áreas, como nas áreas física, química, financeira, geometria.

N física as derivadas são utilizadas para obtermos a velocidade instantânea e aceleração media. Sabemos calcular a velocidade média a que um carro viaja entre duas cidades: Basta dividirmos a distância entre estas pelo tempo que se demorou a fazer o percurso. Em geral estamos interessados em conhecer a velocidade em cada ponto do trajeto (velocidade instantânea), pois o conhecimento da velocidade média é insuficiente para descrever o movimento de um objeto.
Para calcularmos a velocidade (instantânea) precisamos de conhecer a posição y do objeto em cada instante x, i.e. precisamos de conhecer a função y = f(x). Munidos deste conhecimento, a velocidade em cada instante x é o valor para o qual se aproxima a velocidade média entre os instantes x e x + Δx (i.e. Δf/Δx ), quando o intervalo de tempo Δx se aproxima de 0, ou seja o limite do quociente anterior. A este tipo de limites chamamos derivada.

Exemplos de utilização.

Como exemplo veremos uma partícula se desloca em linha reta, de tal forma que sua distância à origem é dada, em função do tempo, por esta equação, s=4t + 6t²:
Mas se nos quisermos calcular a velocidade da partícula, no instante t =1s, deveremos derivar primeiramente a equação descrita acima e depois substituímos 1s na formula.

s=4t + 6t² → s'=4+ 12t → s=4+12(1) → s=16 m/s

Como aceleração temos 16 metros por segundo, sendo esta velocidade obtida no instante 1 segundo.
Mas se quisermos saber a aceleração temos derivar a formula acima 2 vezes.

s=4t+6t² → s”=4+12t → s=12 → s=12m/s

Portanto como resultado temos a aceleração de 12m/s, levando-se em conta que o movimento seja em linha reta.

Na geometria as derivadas tem inúmeras funções como descobrir vazão de materiais descobrir a medida de um sólido dentro de outro sólido

No exemplo a seguir temos uma esfera e queremos descobrir a altura máxima do cilindro inscrito