apostila p2

Apostila–P2-Derivada/Integral

DATA:

UNIPLI-ANHANGUERA
2014.1
DISCIPLINA:

Cálculo II

PROFESSOR:

Fernando Villa Nova

Aplicação de Derivadas
Vamos às aplicações das derivadas, com base nas questões do ENADE:
Verificaremos algumas aplicações de derivadas em Geometria, Engenharia, Física, Economia etc. 1) Aplicação na Geometria:
1.1) Determinar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função
𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 4 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 1 , 3 .

𝑓′ 𝑥 = 2𝑥

𝑓 ′ 𝑥0 = 𝑓 ′ 1 = 2

Logo, m = 2
1.2) Determinar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função
𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 9𝑥 + 20 no ponto (2 , 1)
𝑚 = 𝑓 ′ (𝑥0 )
𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 9𝑥 + 20
𝑓 ′ 𝑥 = 2𝑥 − 9
𝑓 ′ 𝑥0 = 𝑓 ′ 2 = 2 2 − 9 = −5
𝑚 = −5
1.3) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 no ponto (1 , 1).
1.4) Determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 6𝑥 + 5 no ponto de abscissa x = 0.
1.5) Verifique se 2 é raiz dupla da equação 𝑥 3 + 𝑥 2 − 16𝑥 + 20

2) Aplicações na Engenharia:
2.1) Ache as dimensões de um retângulo com perímetro de 100 m, cuja área seja a maior possível. 2.2) Dado um cone de geratriz igual a 5cm, determinar suas dimensões de modo que se tenha o maior volume possível.
2.3) Deseja-se confeccionar uma trave para um campo de futebol com uma viga de 18m de comprimento. Encontre as dimensões para que a área do gol seja máxima.

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3) Aplicações na Física
Quando estudamos Cinemática, podemos observar que a posição S de um ponto material que se desloca sobre uma curva pode ser determinada em cada instante t.
Assim, S é uma função de t indicamos por S = S(t), chamada função horária do ponto.
𝑡0

𝑡 = 𝑡0 + ∆𝑡

𝑆0

0

∆𝑠

S

Observando o gráfico acima, e supondo conhecida a definição de velocidade, teremos:
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑉 𝑀 =

𝑆 𝑡 − 𝑆(𝑡0 ) ∆𝑠
=
𝑡 − 𝑡0
∆𝑡

Então para calcular a velocidade do móvel no instante 𝑡0 , temos: