Apostila de calculo i

Cálculo
Antes de iniciarmos nosso estudo de Cálculo, uma breve apreciação sobre seu conteúdo e as razões de sua importância é imprescindível para podermos compreender o vasto número de aplicações. O Cálculo é essencialmente dividido em duas partes: cálculo diferencial e cálculo integral. Conhecê-lo bem exige tempo e prática, processo semelhante ao de aprender uma nova língua. Entretanto, esse fato não deve nos impedir de ver no início que os problemas centrais do assunto são essencialmente simples e claros, sem nada de estranho ou misterioso acerca deles. Quase todas as idéias e aplicações do Cálculo giram em torno de dois problemas geométricos que são muito fáceis de serem entendidos. Ambos se referem ao gráfico de uma função y = f ( x) .

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O problema do cálculo diferencial é o problema das tangentes: calcular o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f ( x) em um ponto P. O problema do cálculo integral é o problema das áreas: calcular a área debaixo do gráfico, entre os pontos a e b.

À primeira vista, esses problemas parecem de alcance bem limitado. Esperamos que eles lancem luz sobre a Geometria – e eles o farão. O que é muito surpreendente é constatar que eles têm muitas aplicações profundas e de longo alcance em várias ciências. O Cálculo adquire importância no grande mundo fora da Matemática por meio dessas aplicações científicas, e temos como objetivo apresentar algumas delas. No entanto, daremos ênfase a Geometria e suas aplicações.

Integrais Indefinidas
Se y = F ( x) é uma função cuja derivada é conhecida, digamos, por exemplo, d F ( x ) = 2 x, (1) dx podemos facilmente descobrir qual a função F ( x) . Com um pouco de imaginação conseguimos uma função com essa propriedade, ou seja, F ( x) = x 2 . Além disso, como acrescentar um termo constante não muda a derivada, cada uma das funções

x 2 + 1, x 2 + 3, generalizando, x 2 + c, (2)

onde c é uma constante arbitrária, tem também a propriedade (1). Para acreditarmos que não