Aplicação de matriz rotação AL

APLICAÇÃO DE MATRIZ
ROTAÇÃO

Matriz Rotação


Uma matriz rotação é uma transformação linear que quando multiplicada por um vetor qualquer provoca uma rotação desse vetor segundo um eixo, mantendo a sua norma (comprimento).

Propriedades
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



é uma matriz rotação se e somente se M for ortogonal.
M é ortogonal se o produto escalar entre dois vetores coluna for zero e o produto escalar com ele próprio der um vetor unitário. A matriz rotação é anti-simétrica, logo a inversa da matriz rotação é igual à sua transposta e estas permitem a rotação de um vetor no sentido horário:



determinante da matriz rotação é igual
O
á 1:



OBS: Uma matriz anti-simétrica é aquela cuja a matriz transposta coincide com sua matriz oposta, isto é:

Aplicação da Rotação


imagem a seguir representa a rotação
A
do vetor u segundo o angulo , dando origem ao vetos v.



coordenadas do vetor u podem ser
As
dadas por:



As coordenadas do vetor v (vetor que resulta da rotação do vetor u) podem ser dadas por:



Desenvolvendo v:



Considerando





considerarmos um vetor genérico
Se
v=(x,y) e o rotarmos no sentido antihorario, chamaremos o resultado da rotação o vetor v’=(x’,y’)
Obteremos a sua rotação através das seguintes equações lineares:



equações anteriores são lineares,
As
assim podemos definir uma matriz M que seja um operador linear:

M=



matriz anterior permite fazer a rotação
A
no sentido anti-horário, a sua transposta ou a sua inversa fazem a rotação no sentido horário.



Exemplo:
Se pretendemos rotar o vetor v em (60º) temos: Rotação R³


Sentido anti-horário



Na matriz canônica para um vetor arbitrário mas unitário: