Aplicacoes

Taxa de Varia¸c˜ao e Taxas Relacionadas
Max Lemes

2014

Defini¸co˜es

Dada uma fun¸c˜ao y = f (x), quando a vari´avel independente varia de x a x + ∆x, a correspondente varia¸c˜ao de y ser´a
∆y = f (x + ∆x) − f (x).
O quociente f (x + ∆x) − f (x)
∆y
=
∆x
∆x representa a taxa (raz˜ao) m´edia de varia¸c˜ao de y em rela¸c˜ao a x.
A derivada f (x + ∆x) − f (x) f (x) = lim
∆x→0
∆x
´e a taxa instantˆanea de varia¸c˜ao de y em rela¸c˜ao a x ou, simplesmente, taxa de varia¸c˜ao de y em rela¸c˜ao a x.

Observa¸co˜es

Nos problemas aplicados os conceitos de ”raz˜ao”, ”taxa”, ”taxa de varia¸c˜ao”, ”marginal” em geral se referem `a derivada. Uma boa dica ´e substituir a palavra em quest˜ao pela palavra ”derivada” e verificar o sentido da nova frase.

Exemplo 1

Quando um corpo se move em uma trajet´ oria qualquer com a equa¸c˜ao do movimento s = s(t), a sua velocidade ´e dada por v = s (t), que ´e a taxa de varia¸c˜ao da fun¸c˜ao deslocamento s(t) por unidade de varia¸c˜ao do tempo t. A acelera¸c˜ao ´e dada por a(t) = v (t); assim a(t) ´e a taxa de varia¸c˜ao da fun¸c˜ao velocidade v (t) por unidade de varia¸c˜ao do tempo t.

Exemplo 2

Sejam A a ´area de um quadrado de lado . Determine:
1. a taxa de varia¸c˜ao m´edia da ´area de um quadrado em rela¸c˜ao ao lado quando este varia de 2,5 a 3 m;
2. a taxa de varia¸c˜ao da ´area em rela¸c˜ao ao lado quando este mede 4m.

Exemplo 3

Uma cidade X ´e atingida por uma mol´estia epidˆemica. Os setores de sa´ ude calculam que o n´ umero de pessoas atingidas pela mol´estia depois de um tempo t (medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) ´e, aproximadamente, dado por f (t) = 64t − t 3 /3
1. Qual a raz˜ao (taxa) da expans˜ao da epidemia no tempo t = 4?
2. Qual a raz˜ao da expans˜ao da epidemia no tempo t = 8?
3. Quantas pessoas ser˜ao atingidas pela epidemia no 5o dia?

Exemplo 4

Analistas de produ¸c˜ao verificaram que em uma montadora, o n´ umero de pe¸cas produzidas nas primeiras t horas di´arias de trabalho ´e dado