Análise real

Funda¸˜o Centro de Ciˆncias e Educa¸˜o Superior a Distˆncia do Estado do Rio de Janeiro ca e ca a Centro de Educa¸ao Superior a Distˆncia do Estado do Rio de Janeiro c˜ a 1a AD

2011/1

AR

Licenciatura em Matem´tica a

Vers˜o Gabarito a

Coord. C. Vinagre & H. Clark

Quest˜o 1 [1 ponto] Mostre que: se n = 7, 8, 9 . . . ent˜o que n2 > 5n + 10. a a Demonstra¸˜o - (Notar que a afirma¸˜o poderia tamb´m ser escrita como: Para todo natural n > 7, ca ca e n2 > 5n + 10. Portanto, uma t´ ıpica afirma¸ao para se provar por indu¸ao. Entender isto faz parte da c˜ c˜ quest˜o.) a Temos que P[n] ´ n2 > 5n + 10. e Para n = 7, P[7] ´ verdadeira, pois 72 = 49 > 5.7 + 10 = 45. e Hip´tese indutiva - HI: n2 > 5n + 10 ´ verdade para algum n ∈ {7, 8, 9, . . .} fixado. o e Deve-se mostrar que (n + 1)2 > 5(n + 1) + 10. De fato, (n + 1)2 = n2 + 2n + 1 > (5n + 10) + 2n + 1 HI = 5(n + 1) + 2n + 6 n≥7 =

(5n + 5) + (5 + 2n + 1) =

associando de forma conveniente

≥ implica
2n≥14

5(n + 1) + 14 + 6 = 5(n + 1) + 20 > 5(n + 1) + 10.

Logo, pelo PIM, n2 > 5n + 10 para todo n ∈ {7, 8, 9, . . .}

Quest˜o 2 [2 pontos] Mostre que: se a, b ∈ R, ent˜o a igualdade (chamada binˆmio de Newton) a a o (a + b)n = an + n n−1 n n−2 2 n n−p p n a b+ a b + ... + a b + ... + abn−1 + bn , 1 2 p n−1 (i)

´ v´lida para n = 2, 3, 4, . . .. Lembrete: e a n p = n! . p!(n − p)! (ii)

Sugest˜o: Inicialmente, usando (ii), mostre que a (a) (b) n 0 = n n = 1, ( lembre-se 0!=1); = n+1 . p+1

n n + p p+1

Depois use isto no passo indutivo, isto ´, para provar P[n+1] a partir de P[n]. e 1

Demonstra¸˜o - Primeiramente, notamos que P[n] ´ justamente a igualdade (i). ca e Quando n = 2, a identidade (i) ´ verdadeira, pois e (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 = a2 + 2 ab + b2 . 1

Hip´tese Indutiva: a identidade (i) ´ v´lida para um determinado n fixado. o e a Deseja-se provar que (i) ´ v´lida para o sucessor de n, n + 1. Ou seja, deseja-se provar que e a (a + b)n+1 = an+1 + n+1 n n + 1 n−1 2 n + 1 2