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Sistema Linear
Um conjunto de p equações lineares com variáveis x1, x2, x3,....,xn formam um sistema linear com p equações e n incógnitas.
Exemplos:
x + y = 3x – y = 1
Sistema linear com duas equações e duas variáveis.
2x + 5y – 6z = 24x – y + 10z = 30
Sistema linear com duas equações e três variáveis. x + 10y – 12z = 1204x – 2y – 20z = 60–x + y + 5z = 10
Sistema linear com três equações e três variáveis. x – y – z + w = 102x + 3y + 5z – 2w = 214x – 2y – z + w = 16
Sistema linear com três equações e quatro variáveis.
Solução de um sistema linear
Dado o sistema: x + y = 3x – y = 1
Dizemos que a solução deste sistema é o par ordenado (2,1), pois ele satisfaz as duas equações do sistema linear. Observe: x = 2 e y = 1
2 + 1 = 3 3 = 32 – 1 = 1 1 = 1
Dado o sistema:
2x + 2y + 2z = 202x – 2y + 2z = 82x – 2y – 2z = 0
Podemos dizer que o trio ordenado (5, 3, 2) é solução do sistema, pois ele satisfaz as três equações do sistema linear. Veja:
2 * 5 + 2 * 3 + 2 * 2 = 20 10 + 6 + 4 = 20 20 = 202 * 5 – 2 * 3 + 2 * 2 = 8 10 – 6 + 4 = 8 8 = 82 * 5 – 2 * 3 – 2 * 2 = 0 10 – 6 – 4 = 0 0 = 0
Classificação de um sistema linear
Todo sistema linear é classificado de acordo com o número de soluções apresentadas por ele.
SPD – Sistema Possível e Determinado – possui apenas uma solução.SPI – Sistema Possível e Indeterminado – possui infinitas soluções.SI – Sistema Impossível – não possui solução.
Associando um sistema linear a uma matriz
Um sistema linear pode estar associado a uma matriz, os seus coeficientes ocuparão as linhas e as colunas da matriz, respectivamente. Veja exemplo 1:
O sistema: x + y = 3x – y = 1 pode ser representado por duas matrizes, uma completa e outra incompleta.
Matriz completa
1131-1 1Matriz incompleta
111-1
Exemplo 2 x + 10y – 12z = 1204x – 2y – 20z = 60–x + y + 5z = 10
Matriz completa
110 -12 120
4-2 -20 60
-1 1510
Matriz incompleta
110 -12
4-2 -20
-1 15Obs.: O sistema também pode