Algebra linea

1. Prove que se u, v são vetores l.i., então u + v, u − v também são l.i..

2. Mostre que se dois vetores são l.d.,então eles são múltiplos entre si.

3. Do exercício anterior podemos concluir que os polinômios p(t) = 1 − 3t + 2t2 − 3t3 e q(t) = −3 + 9t − 6t2 + 9t3 são l.i..

4. Se v1 , . . . , vn são l.i., então a igualdade α1 v1 + . . . + αn vn = β1 v1 + . . . + βn vn só vale se αi = βi para todo i = 1, . . . , n.

5. Determine se os seguintes vetores em R3 são l.d. ou não: (a) (1, 2, 1), (4, 1, 5), (5, 6, 7) (b) (1, 2, −3), (1, −3, 2), (2, −1, 5) (c) (2, −3, 7), (0, 0, 0), (3, −1, −4) (d) (1, −3, 7), (2, 0, −6), (3, −1, −1), (2, 4, −5)

6. Mostre que se {v1 , . . . , vn } são l.i., mas {v1 , . . . , vn , w} são l.d., então w é combinação linear dos v1 , . . . , vn .

7. Determine se os seguintes vetores de R3 são l.i. (a) (1, 1, 1, ), (1, 0, 1), (1, 0, −2) (b) (1, 1, 1), (1, 2, 1), (3, 2, −1)

8. Determinar m e n para que os conjuntos abaixos sejam l.i (a) (3, 5m, 1), (2, 0, 4), (1, m, −3) (b) (6, 2, n), (3, m + n, m − 1)

9. Determine se os seguintes vetores formam base do espaço vetorial R3 : (a) (1, 1, 1), (1, −1, 5) (b) (1, 2, 3), (1, 0, −1), (3, −1, 0), (2, 1, −2) (c) (1, 1, 1), (1, 2, 3), (2, −1, 1) (d) (1, 1, 2), (1, 2, 5), (5, 3, 4)

10. Sejam U e W os seguintes subespaços do R4 : U = {(x, y, z, w) ∈ R4 ; y + z + w = 0} e W = {(x, y, z, w) ∈ R4 ; x + y = 0, z = 2w} Encontre a dimensão e uma base de U ,W ,U ∩ W .

11. Encontre uma base para o subespaço vetorial de R3 dado por U = [(1, 0, 1), (1, 2, 0), (0, 2, −1)].

12. Considere S(2) = {[aij ] ∈ M2×2 ; aij = aji }. Encontre uma base para este subespaço e determine sua dimensão?

13. Refazer a questão anterior para S(3) = {[aij ] ∈ M3×3 ; aij = aji }. Encontre uma fórmula para a dimensão de S(n) .

14. Considere T = {[aij ] ∈ M3×3 ; aij = 0 quando i < j}. Encontre uma base para este subespaço e determine sua dimensão?

15. Se os vetores v1 , . . . , vm são l.i.,