Números Complexos - Álgebra Linear

Números complexos

O conjunto dos números complexos é denotado por C. Formalmente, um numero complexo com par ordenado (a,b) de números reais, sendo a igualdade, adição e a multiplicação desses pares definidas como segue.

Identificamos o número real a com o complexo (a,0), ou seja,

Isso é possível porque as operações de adição e multiplicação de números reais são preservadas por essa correspondência, isto é,

Assim, vemos R como um subconjunto C e substituímos (a, 0) por a sempre que for conveniente e possível. Observamos que o conjunto C dos números complexos, dotado das operações de adição e multiplicação assim definidas, constitui um corpo numérico, da mesma forma que o conjunto R dos números reais e o conjunto Q dos números racionais. O número complexo (0, 1) é denotado por i. Esse número tem a importante propriedade de que

FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE
FEDERAL DO TOCANTINS

CENTRO DE ENGENHARIAS CIVIL
E ELÉTRICISTA

TRABALHO DE ALGEBRA LINEAR
(10/10/2013)

Dessa forma, qualquer número complexo z=(a, b) pode ser escrito da forma

Essa notação z=a+bi, em que a≡Re z e b≡Im z são denominadas, respectivamente, a parte real e a parte imaginária de z, é mais conveniente de que a de par ordenado (a, b). Isso se deve ao fato de que a soma e o produto dos números complexos z=a+bi e w=c+di podem ser efetuados simplesmente usando a comutatividade e a distributividade e lembrando e , como segue.

Também definimos o simétrico de z e a subtração em C por

Atenção: A letra i que representa não tem relação alguma com o vetor i = [1, 0, 0].

CONJUGADO COMPLEXO Considere o número complexo z = a +bi. O conjugado de z é denotado e definido por

Então . Observe que z é real se, e só se, . O valor absoluto de z, denotado por , é definido como a raiz quadrada não negativa de , ou seja, por

Observe que é igual