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Divisão de Radicais de Mesmo Índice
O quociente de dois radicais de mesmo índice é igual a raiz deste índice do quociente dos dois radicandos:

Exemplo:

Verificando:

Simplificação de Radicais Através da Fatoração
Podemos simplificar e em alguns casos até mesmo eliminar radicais, através da decomposição do radicando em fatores primos. O raciocínio é simples, decompomos o radicando em fatores primos por fatoração e depois simplificamos os expoentes que são divisíveis pelo índice do radicando.
Vamos simplificar decompondo 91125 em fatores primos:

Como 91125 = 36 . 53 podemos dizer que:

Repare que tanto o expoente do fator 36, quanto o expoente do fator 53 são múltiplos do índice do radicando que é igual a 3. Vamos então simplificá-los:

Perceba que através da fatoração de 91125 e da simplificação dos expoentes dos fatores pelo índice do radicando, extraímos a sua raiz cúbica eliminando assim o radical.
Vejamos agora o caso do radical :

Logo 2205 = 32 . 5 . 72, então:

Como os expoentes dos fatores 32 e 72 são divisíveis pelo índice 2, vamos simplificá-los retirando-os assim do radical:

Neste caso o expoente do fator 5 não é divisível pelo índice 2 do radicando, por isto após a simplificação não conseguimos eliminar o radical.
Agora vamos analisar o número :

Note que 729 = 36, então:

Neste caso o expoente de 36 não é divisível pelo índice 5, mas é maior, então podemos escrever:

Repare que agora o expoente do fator 35 é divisível pelo índice 5, podemos então retirá-lo do radical:

Agora vamos pensar um pouco. Após a fatoração tínhamos o radical . O expoente 6 não é divisível por 5, pois ao realizarmos a divisão, obtemos um quociente de 1 e um resto também de 1. Pois bem, o 1 do quociente será o expoente da base 3 ao sair o radical. A parte que ainda ficou no radical terá como expoente o 1 do resto. Vamos a alguns exemplos para melhor entendermos a questão:
Simplifique .
Dividindo 18 por 7