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SEMINÁRIO DE DINÂMICA ORBITAL 1

“Método de interpolação de
Lagrange”

Flaviane Venditti

Interpolação:
• Seja uma função y=f(x), conhecida por n+1 pontos isolados (xi,yi), i=0,1,2,...,n.
• Consiste em estimar um valor para f(x) para qualquer x que está no intervalo (x0,xn).
• Se para fazer a estimativa do valor de f(x) for utilizado um polinômio que passa por todos os pontos conhecidos, então está sendo feita uma interpolação polinomial.

Interpolação polinomial:
• Consiste em determinar uma função, que assume valores conhecidos em certos pontos.
• Para cada n pontos pode-se obter uma função polinomial de grau até n-1.
• Assim, para fazer interpolação de grau 1 precisamos de 2 pontos (xi,f(xi)) e (xi+1,f(xi+1)), de modo que o valor de x para o qual se quer o valor de f(xi) esteja no intervalo (xi,xi+1).

O polinómio de 3º grau interpola a função em 4 pontos

Interpolação polinomial de Lagrange:
• A fórmula de interpolação de Lagrange pode ser derivada direto do polinômio de diferença dividida de Newton de grau equivalente, primeiramente escrevendo a diferença dividida na forma simétrica: n

f [ xn , xn−1 ,..., x0 ] =

∑ i =0

f ( xi ) n ∏ j =0 j ≠i

( xi − x j )

• A fórmula de Lagrange envolve somente os pontos xi e os valores da função correspondente f(xi). A diferença divida da fórmula fundamental de Newton não precisa ser calculada.

Por exemplo:
• Para um polinômio de segundo grau temos: p2 ( x) = f [ x0 ] + ( x − x0 ) f [ x1, x0 ] + ( x − x0 )(x − x1 ) f [ x2 , x1, x0 ]

• Substituindo as formas simétricas equivalentes para as diferenças divididas temos...

f ( x0 )
( x − x0 )( x − x1 ) f ( x1 )
+ ( x − x0 )
+
p 2 ( x ) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) f ( x0 ) +
( x0 − x1 )
( x1 − x0 ) ( x0 − x1 )( x0 − x2 )
+

( x − x0 )( x − x1 )
( x − x0 )( x − x1 ) f ( x1 ) + f ( x2 ) =
( x1 − x0 )( x1 − x2 )
( x2 − x0 )( x2 − x1 )

=

( x − x0 )( x − x2 )
( x − x0 )( x − x1 )
( x − x1