2 Aulataxas Relacionadas

Universidade Federal de Vic
¸ osa - UFV
ˆncias Exatas e Tecnolo
´ gicas - CCE
Centro de Cie
´ tica - DMA
Departamento de Matema
´
MAT 146 - CALCULO
I

2015/I

Professora Ariane
˜ o e Taxas Relacionadas
Aula: Taxa de Variac
¸a
Taxa de Varia¸ c˜ ao
J´a vimos que, quando um corpo se move em linha reta de acordo com a equa¸c˜ao do movimento s = s(t), a sua velocidade ´e dada por v(t) = s (t) (a derivada da fun¸c˜ao deslocamento em rela¸c˜ao `a vari´avel tempo t).
Sabemos que a velocidade representa a raz˜ao da varia¸c˜ao do deslocamento pela varia¸c˜ao do tempo.
O mesmo ocorre com a acelera¸c˜ ao que ´e dada por a(t) = v (t). Ela representa a raz˜ao entre a varia¸c˜ ao da velocidade v(t) e a varia¸c˜ ao do tempo t.
Dada uma fun¸c˜ ao y = f (x), quando a variavel x passa para o valor x = x0 para o valor x = x0 + ∆x sofrendo uma varia¸c˜ ao ∆x, ∆x = x − x0 , o correspondente valor da fun¸c˜ao passa de f (x0 ) para o valor f (x0 + ∆x) sofrendo, portanto, uma varia¸c˜ao f (x0 + ∆x) − f (x0 ).
O quociente f (x + ∆x) − f (x)
∆x
representa a taxa m´ edia de varia¸ c˜ ao de y = f (x) em rela¸c˜ao a x.
A derivada f (x) = lim

∆x→0

f (x + ∆x) − f (x)
∆x

´e a taxa instantˆ anea de varia¸c˜ ao ou simplesmente taxa de varia¸ c˜ ao de f (x) em rela¸c˜ao a x.
Exemplos:
1) Determine a taxa m´edia de varia¸c˜ ao das seguintes fun¸c˜oes entre os pontos indicados:
(a) f (x) = x2 + x; −2 e 2.
1
(b) f (x) = x − ; 3 e 6. x 2) Uma f´abrica de doces verificou que o custo total di´ario para produzir x caixas de doces cristalizados, em reais, era dado por C(x) = 12 x2 + x + 2. Determinar a taxa m´edia de varia¸c˜ao do custo em rela¸c˜ ao ax.
3) Numa cidade obteve-se uma estimativa que daqui a t anos a popula¸c˜ao ser´a dada por p(t) = 20 −

5 milh˜oes. t+1

Daqui a 18 meses qual ser´ a a taxa de varia¸c˜ao da popula¸c˜ao nesta cidade? R: 0,8 milh˜oes/ ano.

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MAT 146 - Profa Ariane P. Entringer

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Taxas relacionadas

Um problema envolvendo taxas de varia¸c˜ao de vari´aveis relacionadas ´e