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3.A LISTA DE EXERC´
ICIOS DE SMA-301 - CALCULO
I
Professora: Sueli M. Tanaka Aki - Turmas 2 e 9 - 2015
Exerc´ıcio 1. Calcule f ′ (x) nos seguintes casos:
(
) e−x 2x
a) f (x) = ln(x + cos(x)) b) f (x) = e ln x sen(x) + 5 x +1
5

c) f (x) = ex

3 −ln(x2 +1)

2x

d) f (x) = log2 (x )

e) f (x) = ln(x + cos(x))

f ) f (x) = e

g) f (x) = ln(ln x)

h) f (x) = π x

i) f (x) = 73x

(
)
e−x ln x sen(x) + 5 x +1

Exerc´ıcio 2. Se a reta tangente a y = ex no ponto x = x0 intercepta o eixo x em x = x1 , mostre que x0 − x1 = 1.
Exerc´ıcio 3. Suponha que f e g sejam fun¸c˜oes tais que f ′ (x) = 1/x e f (g(x)) = x. Mostre que se g ′ (x) existe, ent˜ao g ′ (x) = g(x).
Exerc´ıcio 4. Seja f (x) = x + ex e g a fun¸c˜ao inversa de f . Demonstre que g ´e diferenci´avel e que g ′ (x) = 1+e1g(x) . Calcule g ′ (1) e g”(1).
Exerc´ıcio 5. Seja f (x) = x + x3 .
a)Mostre que f admite fun¸c˜ao inversa g.
b)Expresse g ′ (x) em termos de g(x) e calcule g ′ (0).
Exerc´ıcio 6. As fun¸c˜oes senh : R → R e cosh : R → R dadas por ex + e−x ex − e−x e cosh x =
2
2 s˜ ao chamadas seno hiperb´ olico e cosseno hiperb´ olico, respectivamente. Mostre que:
(a) senh ´e uma fun¸c˜ao ´ımpar e cosh ´e uma fun¸c˜ao par; d d senh x = cosh x e cos x = senh x;
(b)
dx dx 2
2
(c) cosh x − senh x = 1 para todo x ∈ R;
(d) senh(x + y) = senh x cosh y + cosh x senh y e senh 2x = 2 senh x cosh x;
(e) ex = senh x + cosh x e e−x = cosh x − senh x. senh x
1
(f) Defina tgh x = e sech x =
. Mostre que 1 − tgh2 x = sech2 x. cosh x cosh x
(g) Defina cotgh x, cosh x e cossech x.
(h) Determine as derivadas das fun¸c˜oes dos itens (f) e (g). dy Exerc´ıcio 7. Encontre
, onde y = y(x) ´e dada implicitamente por: dx senh(x2 y) + cosh(y 2 − cos(xy)) = 2 senh x =

Exerc´
√ıcio 8. A deriva¸c˜ao logar´ıtmica ´e uma t´ecnica para calcular a derivada de uma fun¸c˜ao como: y = 3 (x + 1)(x − 2)(2x + 7), que ´e muito complicada mas cujo logaritmo pode ser escrito numa forma
1
dy mais simples: ln y = [ln(x + 1) + ln(x − 2) + ln(2x + 7)].