023617Eduardo 1

Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP

Instituto de Matemática, Estatística e
Computação Científica

Trabalho de Cálculo II
Máximos e Mínimos e Hessiana

Aluno : Eduardo Silva Martins
Ra:
023617

Campinas, 18 de novembro de 2003

Teorema : Seja f : A

R uma função de classe C^2 definida num aberto A ⊂ R ^ n : Suponha que P ∈ A , seja um ponto crítico de f: Sejam λ1, λ 2, λ 3....λn os autovalores da matriz hessiana de f em P e H(P) o hessiano de f em P: Temos
1. se ¸j > 0 para todo 1 · j · n então P é um ponto de mínimo local de f;
2. se ¸j < 0 para todo 1 · j · n então P é um ponto de máximo local de f;
3. se existirem dois autovalores λi e λj com sinais opostos então P é um ponto de sela de f;
4. nos demais casos, isto é,
(a) λj ≥ 0 ; para todo i ≤ j ≤ n e existe um autovalor¸ i = 0 ou
(b) λj ≤ 0 ; para todo i ≤ j ≤ n e existe um autovalor¸ i = 0 não podemos afirmar nada sobre a natureza do ponto crítico P.
Para comprovarmos que tal teorema é verdadeiro, compararemos os valores obtidos através do teorema com o gráficos que serão plotados no
Mathematica.

Letra A)
G(x,y) = Sin[x]*Cosh[y]
Gx = Cos[x]*Cosh[y]
Gy = Sin[x]*Sinh[y]
Nos pontos onde a primeira derivada é zero temos um ponto de máximo,de mínimo ou de sela, temos então que determinar tais pontos: y=0 p/ x = π / 2 p/ x = 3π / 2 y = 0
Temos então dois pontos candidatos a mínimo da função:
A=( π / 2 , 0)
B=( 3π / 2 , 0)
Encontrando as derivadas de segunda da função G(x,y) podemos encontrar a
Hessiana desta.
Gxx = Sen(x)*Cosh(y)
Gxy = Cos(x)*Senh(y)

Gyx = Cos(x)*Senh(y)
Gyy = Cos(x)*Senh(y)

Trabalho de Cálculo II – Eduardo Silva Martins

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Sen x Cosh y
Cos x Senh y

Cos x
Sen x

Senh y
Cosh y

Assim, no ponto A, a Hessiana é:

1 0
0 1

O polinômio característico é:

(1 − λ )^ 2 = 0

λ = ±1

Como existe um autovalor negativo e outro positivo o ponto A é um ponto de sela. No ponto B a Hessiana é a mesma do ponto A, assim o ponto B também é um ponto de sela.
Note, pela figura 1, que o resultado