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Massa e Centro de Massa Considere uma lâmina fina tendo a forma de uma região D do plano e assumamos que a massa está distribuída sobre esta lâmina com densidade conhecia, isto é, existe uma função positiva f definida em D tal que f(x,y) representa a massa por unidade de área em (x,y). Se a lâmina é feita de material homogêneo, a densidade é constante. Neste caso, a massa total da lâmina é o produto da densidade pela área da lâmina. -Quando a densidade f varia de ponto para ponto e f é integrável sobre D, a massa total de D é dada pela equação O centro de massa C=(x*,y*) da lâmina é determinado pelas equações: - Quando a densidade é constante, digamos f(x,y) = k, x e y são iguais, respectivamente a: Neste caso, o ponto (x*,y*) é chamado de centróide da lâmina (ou da região D). Exemplo: Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular com vértices (0,0), (1,0) e (0,2), se a função densidade é (x,y) = 1 + 3x + y. Solução: O triângulo D está limitado pelas retas x = 0, y = 0 e y = 2 – 2x.. Podemos expressar D por: D = { (x,y) | 0  x  1, 0  y  2 –2x} A massa da lâmina é: Portanto: Os momentos são: Assim: , Logo, o centro de massa da lâmina é o ponto (3/8,11/16), indicado na figura: Momento de Inércia Se L é uma reta no plano da lâmina D, seja (x,y) a distância do ponto (x,y) em D à reta L. O momento de inércia da lâmina em relação à reta L é definido como: I = O momento de

UNIVERSIDADE DE SANTA CRUZ DO SUL DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA, ARQUITETURA E CIÊNCIAS AGRÁRIAS CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA Atualizado por: Prof. Anderson Fávero Porte Santa Cruz do Sul, agosto 2007. Apostila de Transferência de Calor e Massa 2 1) GENERALIDADES 1.1) INTRODUÇÃO Sempre que um corpo está a uma temperatura maior que a de outro ou, inclusive, no mesmo corpo existam temperaturas diferentes, ocorre uma cessão de energia da…

barra metálica é golpeada em sua extremidade, uma onda longitudinal propaga-se por ela com velocidade v = Ea / ρ . A grandeza E é conhecida como módulo de Yong, enquanto p é a massa específica e a uma constante adimensional. Qual das alternativas é condizente à dimensão de E? 2 2 A ( ) J/m B ( ) N/m 2 C ( ) J/s.m D( ) kg;m/s 3 E ( ) dyn/cm SOLUÇÃO IDEAL: ALTERNATIVA B E= v 2ρ a D ( ) [(K 2 + k 1 )m 2 + k 2 m1 ](g + a) / K 1k 2 − 2ℓ E ( ) [(K 2 − k 1 )m 2 + k 2 m1 ](g + a ) / K 1k 2 +…

Geometria Plana Questão 1 Um triângulo isósceles tem base medindo 8 cm e lados iguais com medidas de 5 cm. A área deste triângulo é: A( ) 20 cm2. a²=b²+c² A = = = = 12 cm² B( ) 10 cm2. 4²=5²+c² C( ) 24 cm2. c=9 D( ) 18 cm2. c=3 E(X) 12 cm2. Questão 2 Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é 5/3 do tamanho do cateto…

TRANSMISSÃO DE CALOR Atualizado por: Prof. Ademar Michels Aluno Msc. Maruí Samuel F. dos Santos Aluno Grad. Anderson Fávero Porte Santa Maria, RS, Brasil Apostila de Transmissão de Calor 2 Apostila de Transmissão de Calor 3 Sumário: 1) GENERALIDADES ____________________________________________ 7 1.1) Introdução ________________________________________________ 7 1.2) Regimes de Transmissão de Calor _____________________________ 8 1.3) Formas de Transmissão de…

...................................................................................13 CAMPO A PARTIR DO POTENCIAL ELÉTRICO 1. Objetívo Observar o comportamento do campo eletrostático a partir da determinação experimental de linhas equipotenciais em meios condutores líquidos. 2. Materiais: 01 Cuba eletrolítica (pirex) com papel milimetrado; 01 Multímetro 02 Ponteiras (fixa e móvel); 04…

INSTITUTO POLITÉCNICO – Centro Universitário UNA 1. A área da região de uma região está a direita do eixo y e a esquerda da parábola x = 2y – y2 (a região sombreada da figura). Imagine que esta região representa a área na qual será construída uma determinada loja. Podemos afirmar que tal área é: Resposta A. Resolução: 2. De uma chapa metálica de 1m2 de área, foi recortado um molde de uma peça para o uso industrial. A parte hachurada da figura abaixo representa a sobra da peça…

R a região limitada pelo gráfico da função y = f (x), as retas x = a, x = b e o eixo x, sendo f (x) ≥ 0 para todo [a, b]. A área da região R é dado pela fórmula: b A= f (x)dx. a y y y = f (x) y = f (x) R O a b O x a x1 x2 xi xi+1 b = xn x DEMONSTRAÇÃO Tomemos números x0 , x1 , x2 , · · · , xn ∈ [a, b] tais que a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b e, x∗ , x∗ , · · · , x∗ tais que x∗ ∈ [xi−1 , xi ]. Então 1 2 n i n A ∼ (x1 −…

Seja R a região limitada pelo gráfico da função y = f (x), as retas x = a, x = b e o eixo x, sendo f (x) ≥ 0 para todo [a, b]. A área da região R é dado pela fórmula: b A= f (x)dx. a y y y = f (x) y = f (x) R O a b O x a x1 x2 xi xi+1 b = xn x DEMONSTRAÇÃO Tomemos números x0 , x1 , x2 , · · · , xn ∈ [a, b] tais que a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b e, x∗1 , x∗2 , · · · , x∗n tais que x∗i ∈ [xi−1 , xi ]. Então n A∼ = (x1 −…

Exercícios: Geometria Plana Questão 1 Um triângulo isósceles tem base medindo 8 cm e lados iguais com medidas de 5 cm. A área deste triângulo é: A( ) 20 cm2. B( ) C( ) E( ) 10 cm2. 24 cm2. 12 cm2. D( ) 18 cm2. Questão 2 Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é 5/3 do tamanho do cateto menor. O cateto maior tem tamanho igual a 4/3 do cateto menor. Sendo 60 cm o perímetro desse triângulo, sua área será de: A( ) 135 cm2 B( ) C( ) E( ) 120 cm2 150 cm2 187,5 cm2 D( ) 100 cm2 Questão 3…